Giáo án Bài 5. Dãy số

Huy động kinh nghiệm về các dãy số có quy luật; dẫn tới nhu cầu xác định dãy bằng quy tắc và nhu cầu kiểm tra tính chất đúng với mọi số hạng.

GV chiếu hai dãy: dãy thứ nhất $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$; dãy thứ hai $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots$. HS đoán số hạng thứ 5 và thứ 6 của mỗi dãy và nêu quy luật. Câu hỏi GV đặt ra: 'Có thể tiếp tục dãy $1,\ 2,\ 4$ theo nhiều cách khác nhau không? Ba số đầu có đủ để khẳng định số thứ tư là 8 không?'

Dự kiến: dãy thứ nhất có $u_5=10$, $u_6=12$, mỗi số hạng hơn số trước 2 đơn vị; dãy thứ hai có $u_5=16$, $u_6=32$, mỗi số hạng gấp đôi số trước. Kết luận ban đầu: muốn xác định một dãy số cần có quy tắc và các số hạng đầu; ba số $1,\ 2,\ 4$ chưa đủ để khẳng định số thứ tư chắc chắn là $8$.

Nêu được khái niệm dãy số vô hạn, dãy hữu hạn, ba cách cho dãy và giải thích được vai trò của số hạng đầu trong truy hồi.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. GV trình bày ví dụ: cho $u_n=\dfrac{n}{n+1}$, tính $u_1$, $u_2$. GV chiếu bài giảng và ví dụ trên trang NeoEdu để HS đối chiếu. Hai nhiệm vụ chính: (1) phân biệt $u_n$ với chỉ số $n$; (2) so sánh cách cho dãy bằng công thức tổng quát và bằng truy hồi $u_1=1,\ u_{n+1}=2u_n+1$.

Dãy số vô hạn là hàm xác định trên tập các số nguyên dương, kí hiệu $(u_n)$; dãy hữu hạn chỉ xét $u_1,u_2,\ldots,u_N$. Ví dụ: $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_2=\dfrac{2}{3}$, trong đó $n$ là chỉ số, $u_n$ là số hạng thứ $n$. Ba cách cho dãy: công thức tổng quát; hệ thức truy hồi kèm số hạng đầu; mô tả bằng lời. Với truy hồi $u_1=1,\ u_{n+1}=2u_n+1$ ta có $u_2=3$, $u_3=7$. Hệ thức $u_{n+1}=u_n+3$ không kèm số hạng đầu thì không xác định duy nhất dãy.

Nêu được điều kiện tăng, giảm và bị chặn trên, bị chặn dưới của dãy số; giải thích vì sao kiểm tra vài số hạng chỉ là gợi ý còn chứng minh phải đúng với mọi $n$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2, theo kỹ thuật mảnh ghép: mỗi HS nhận một nhiệm vụ (dãy $u_n=\dfrac{1}{n}$ hoặc dãy $u_n=(-1)^n$), sau đó về nhóm chia sẻ. Trọng tâm: tính $u_{n+1}-u_n$ với $u_n=\dfrac{1}{n}$; so sánh $u_n$ với 0 và 1; xét dãy $(-1)^n$.

Với $u_n=\dfrac{1}{n}$: $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=-\dfrac{1}{n(n+1)}<0$ với mọi $n$, nên dãy giảm nghiêm ngặt; $0<u_n\le 1$ nên dãy bị chặn trên bởi $1$ và bị chặn dưới bởi $0$ (số $0$ là chặn dưới dù không có số hạng nào bằng $0$). Với $u_n=(-1)^n$: $-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots$; dãy không tăng, không giảm, nhưng $-1\le u_n\le 1$ nên bị chặn. Kiến thức chốt: dãy tăng khi $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$; dãy giảm khi $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$; dãy không đổi không là tăng hay giảm nghiêm ngặt; dãy bị chặn khi có số $M$ và số $m$ sao cho $m\le u_n\le M$ với mọi $n$; chặn không nhất thiết đạt được.

Vận dụng được cách tính số hạng từ công thức, truy hồi và hiệu $u_{n+1}-u_n$; xác định được tính chất bị chặn của dãy $(-1)^n$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 3, gồm các bài 1, 2, 3, 4 và 8 trong bài học. Mỗi thành viên giải một câu, sau đó kiểm tra chéo trong nhóm. GV lưu ý HS ghi rõ bước tính.

Bài 1: với $u_n=2n-1$ có $u_4=2\cdot 4-1=7$, đáp án B. Bài 2: dữ kiện xác định duy nhất dãy truy hồi là đáp án C ($u_1=2,\ u_{n+1}=u_n+3$ với $n\ge 1$). Bài 3: $u_2=2\cdot 1+1=3$, $u_3=2\cdot 3+1=7$, nên $u_3=7$. Bài 4: $u_4=17$, $u_3=10$, nên $u_4-u_3=7$; tổng quát $u_{n+1}-u_n=2n+1>0$. Bài 8: dãy $(-1)^n$ có các số $-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots$, bị chặn vì $-1\le u_n\le 1$ nhưng không tăng, không giảm, đáp án C.

Chứng minh được một dãy số cụ thể tăng và bị chặn; kiểm tra và bác bỏ được kết luận vội vàng từ vài số hạng đầu.

HS làm việc theo cặp đôi với đề chiếu trên máy chiếu hoặc NeoEdu, gồm các bài 5, 6, 7 trong bài học. Bài 5: xét dãy $u_n=\dfrac{1}{n}$ với các khẳng định Đ hoặc S. Bài 6: chứng minh $u_n=3-\dfrac{2}{n}$ tăng và bị chặn. Bài 7: nhận xét khẳng định 'số thứ tư chắc chắn là 8' của bạn và đưa một quy tắc khác cho ba số $1,\ 2,\ 4$.

Bài 5: a) Đ; b) Đ; c) Đ; d) S, vì $0$ vẫn là chặn dưới của dãy. Bài 6: $u_{n+1}-u_n=\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}=\dfrac{2}{n(n+1)}>0$ với mọi $n$, nên dãy tăng; $u_1=1$ nên $1\le u_n<3$ với mọi $n$, dãy bị chặn dưới bởi $1$ và bị chặn trên bởi $3$ (chặn trên không đạt được). Bài 7: khẳng định 'chắc chắn là 8' chưa đúng vì ba số đầu không đủ để xác định dãy; quy tắc $u_n=\dfrac{n^2-n+2}{2}$ cho $1,\ 2,\ 4$ và $u_4=\dfrac{16-4+2}{2}=7$. Chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.

Mô hình hoá được một tình huống thực tế bằng dãy số; viết được công thức tổng quát và hệ thức truy hồi, xét được tính tăng và tính bị chặn của dãy.

Khán phòng nhỏ có 15 hàng ghế. Hàng đầu có 20 ghế, mỗi hàng sau có nhiều hơn hàng liền trước 2 ghế. Gọi $u_n$ là số ghế của hàng thứ $n$. HS trả lời: (1) viết hệ thức truy hồi và công thức tổng quát của $u_n$; (2) chứng minh dãy $(u_n)$ tăng; (3) tìm số ghế hàng thứ 15 và nêu một chặn dưới, một chặn trên của dãy $(u_n)$, $n=1,\ldots,15$.

Hệ thức truy hồi: $u_1=20$, $u_{n+1}=u_n+2$ với $1\le n\le 14$; công thức tổng quát: $u_n=2n+18$. Vì $u_{n+1}-u_n=2>0$ nên dãy tăng. Hàng thứ 15 có $u_{15}=2\cdot 15+18=48$ ghế. Dãy bị chặn dưới bởi $20$ và bị chặn trên bởi $48$ (với $1\le n\le 15$), tức $20\le u_n\le 48$.