Giáo án Bài tập cuối chương I

Xác định vấn đề của tiết ôn tập: nhớ lại giá trị lượng giác cơ bản, chu kì, điều kiện xác định và công thức lượng giác cần dùng.

HS làm nhanh bốn câu hỏi trắc nghiệm: (1) $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ bằng bao nhiêu? A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$; B. $\dfrac{1}{2}$; C. $-\dfrac{1}{2}$. (2) Miền xác định của $y=\tan 2x$ loại các điểm nào? A. $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$; B. $x=\dfrac{k\pi}{2}$; C. $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$. (3) Chu kì cơ bản của $\cos 3x$ là gì? A. $\dfrac{\pi}{3}$; B. $\dfrac{2\pi}{3}$; C. $3\pi$. (4) Có bao nhiêu nghiệm của $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ trên $[0;2\pi)$?
GV đặt câu hỏi: Vì sao cần ghi điều kiện xác định trước khi giải bài tập? Nếu quên điều kiện thì điều gì có thể xảy ra?

Đáp án nhanh: (1) B, vì $\cos$ là hàm chẵn nên $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$. (2) A, vì $2x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ nên $x\neq\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$. (3) B, vì $T=\dfrac{2\pi}{|3|}=\dfrac{2\pi}{3}$. (4) 2 nghiệm, $x=\dfrac{2\pi}{3}$ và $x=\dfrac{4\pi}{3}$. Kết luận sơ bộ: quên điều kiện thì có thể nhận nghiệm không thuộc miền xác định hoặc chia cho biểu thức bằng $0$.

Hệ thống hoá kiến thức về đường tròn đơn vị, miền xác định, chu kì và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số lượng giác.

Nhóm 4 HS hoàn thành khăn trải bàn theo Phiếu học tập số 1: mỗi HS điền một ô trong vùng cá nhân, sau đó cả nhóm thống nhất nội dung vào vùng chung ở giữa khăn. Nhiệm vụ gồm: (a) nêu giá trị của $\sin x$, $\cos x$ tại các góc $0$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$ trên đường tròn đơn vị; (b) ghi tập xác định, chu kì và tập giá trị của $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\tan x$, $y=\cot x$; (c) tìm $\max$ và $\min$ của $y=\sin x$, $\cos x$, và giải thích vì sao $\max(5+3\sin x)=8$, $\min(5+3\sin x)=2$; (d) nêu điều kiện xác định của $\tan x$ và $\cot x$.

Bảng hệ thống kiến thức: $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, $\cos\pi=-1$, $\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$; $y=\sin x$ và $y=\cos x$ có tập xác định $\mathbb{R}$, tập giá trị $[-1;1]$, chu kì $2\pi$; $y=\tan x$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}$, chu kì $\pi$; $y=\cot x$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}$, chu kì $\pi$. Với $y=5+3\sin x$: vì $-1\leq\sin x\leq 1$ nên $2\leq y\leq 8$, giá trị nhỏ nhất là $2$ khi $\sin x=-1$.

Hệ thống hoá công thức lượng giác có điều kiện, công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nghiệm; giải thích được cách tìm đủ họ nghiệm và lọc theo khoảng.

Các nhóm cặp đôi thực hiện Phiếu học tập số 2 phần A: (1) chứng minh $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$ bằng công thức biến đổi tổng thành tích; (2) cho $\tan a=\dfrac{1}{3}$, tính $4\tan 2a$, ghi rõ điều kiện $\cos 2a\neq 0$; (3) nêu công thức nghiệm của $\cos x=m$, với $|m|\leq 1$, và ghi tham số nguyên $k$; (4) tìm số nghiệm của $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ trên $[0;2\pi)$ bằng cách liệt kê họ nghiệm rồi lọc khoảng.

(1) Với $A=3x$, $B=x$: $\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x$. (2) $\tan 2a=\dfrac{2\cdot\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\dfrac{3}{4}$, nên $4\tan 2a=3$. (3) $\cos x=m$ có nghiệm $x=\pm\arccos m+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. (4) Nghiệm $x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ và $x=-\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$; trên $[0;2\pi)$ có hai nghiệm là $\dfrac{2\pi}{3}$ và $\dfrac{4\pi}{3}$.

Củng cố nhanh kiến thức các bài 1 đến 8 của phần bài tập cuối chương; rèn kĩ năng nhận biết đáp án đúng và giải thích được lựa chọn.

Lớp chia thành 4 đội, mỗi đội 6 HS, xếp hàng tiếp sức. Mỗi HS lên bảng làm một câu, trả bảng cho bạn tiếp theo. Các câu: (1) $\sin x+\sin 3x$ bằng gì? A. $2\cos 2x\sin x$; B. $\sin 4x$; C. $2\sin 2x\cos x$. (2) Chu kì của $\cos 3x$? (3) Có bao nhiêu nghiệm của $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ trên $[0;2\pi)$? (4) Giá trị nhỏ nhất của $5+3\sin x$? (5) Cung tròn bán kính 3 m có góc ở tâm $0{,}4$ rad, độ dài cung là bao nhiêu mét? (6) $\tan a=\dfrac{1}{3}$, tính $4\tan 2a$.

Đáp án: (1) C; (2) $\dfrac{2\pi}{3}$; (3) 2 nghiệm; (4) 2; (5) $1{,}2$ m, vì $s=R\alpha=3\cdot 0{,}4=1{,}2$; (6) 3. Bảng tổng hợp điểm của các đội có ghi chú những câu sai và lí do.

Giải bài tổng hợp: phân tích thành nhân tử, tìm đủ nghiệm trên $[0;2\pi)$, kiểm tra nghiệm bằng biểu thức ban đầu; tính giá trị lượng giác khi biết một giá trị và khoảng của góc.

Cặp đôi làm Phiếu học tập số 2 phần B.
Bài 9: Giải $2\sin^2 x-\sin x=0$ trên $[0;2\pi)$. Yêu cầu: ghi điều kiện, phân tích thành nhân tử, liệt kê nghiệm, kiểm tra từng nghiệm bằng biểu thức $2\sin^2 x-\sin x$.
Bài 10: Biết $\sin x=\dfrac{5}{13}$, $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$. Tính $\cos 2x$ và $\sin 2x$. Yêu cầu: xác định dấu của $\cos x$ trước khi tính.

Bài 9: $\sin x(2\sin x-1)=0$, suy ra $\sin x=0$ hoặc $\sin x=\dfrac{1}{2}$. Nghiệm trên $[0;2\pi)$: $x=0$, $x=\pi$, $x=\dfrac{\pi}{6}$, $x=\dfrac{5\pi}{6}$ (có 4 nghiệm). Kiểm tra: với $x=\dfrac{\pi}{6}$, $2\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=0$. Bài 10: vì $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ nên $\cos x<0$, $\cos x=-\dfrac{12}{13}$; $\cos 2x=1-2\sin^2 x=\dfrac{119}{169}$; $\sin 2x=2\sin x\cos x=-\dfrac{120}{169}$. Chấp nhận mọi cách giải khác đúng điều kiện.

Vận dụng kiến thức lượng giác để giải một tình huống thực tế có tính giả định; mô hình hoá và giải thích được kết quả.

Tình huống giả định (dữ liệu không phải số đo thực): một điểm M dao động theo mô hình $y=5+3\sin x$, với $x$ là góc (radian) và $y$ là độ cao (đơn vị giả định). (a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $y$. (b) Tìm các giá trị $x\in[0;2\pi)$ sao cho $y=2$. (c) Một bánh xe bán kính 3 m quay một góc $0{,}4$ rad, tính độ dài cung đi qua. Yêu cầu HS viết lời giải ngắn, kiểm tra lại đáp án.

(a) $\max y=8$ khi $\sin x=1$; $\min y=2$ khi $\sin x=-1$. (b) $\sin x=-1$ nên $x=\dfrac{3\pi}{2}$. (c) $s=3\cdot 0{,}4=1{,}2$ m. Kết luận: mô hình giả định có độ cao dao động trong đoạn $[2;8]$; sản phẩm nhóm là bài trình bày ngắn có ghi điều kiện và kiểm tra nghiệm.