Giáo án Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản

HS nhớ lại giá trị lượng giác của góc đặc biệt và nhận ra một phương trình lượng giác có thể có nhiều nghiệm, từ đó xác định vấn đề cần học.

GV nêu câu hỏi: (1) Góc $\alpha$ nào trong khoảng $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ thoả mãn $\sin\alpha=\dfrac{1}{2}$? (2) Có góc nào khác trong $[0;2\pi)$ cũng có sin bằng $\dfrac{1}{2}$ không? (3) Phương trình $\sin x=2$ có nghiệm không, vì sao? (4) Nếu $x$ là một nghiệm của $\cos x=1$ thì $x+2\pi$ có là nghiệm không?

HS trả lời: (1) $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$; (2) Có, $\dfrac{5\pi}{6}$ cũng thoả mãn; (3) Không, vì $|\sin x|\le1$ với mọi $x$ nên không tồn tại $x$ có $\sin x=2$; (4) Có, vì $\cos(x+2\pi)=\cos x=1$. Từ đó GV dẫn dắt: cần tìm tất cả nghiệm và điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

HS nêu được điều kiện có nghiệm, họ nghiệm của $\sin x=a$ và $\cos x=a$; giải thích được vì sao có hai họ nghiệm cho sin và một điều kiện $|a|\le1$ cho cả hai phương trình.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1 và tham khảo phần bài giảng trên NeoEdu. Nhiệm vụ: (1) Với $|a|>1$, giải thích vì sao $\sin x=a$ vô nghiệm. (2) Với $\sin\alpha=a$, tìm các điểm trên đường tròn lượng giác có sin bằng $a$ và viết họ nghiệm. (3) Với $\cos x=a$, viết họ nghiệm dựa trên $\cos\alpha=a$. (4) Xét các trường hợp $a=\pm1$ và $a=0$: nhóm nào trùng họ nghiệm? Ví dụ: giải $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ và $\cos x=-1$.

Kết quả HS cần ghi: (1) Vì $|\sin x|\le1$ nên $\sin x=a$ vô nghiệm khi $|a|>1$. (2) Nếu $\sin\alpha=a$ thì $\sin x=a$ có nghiệm $x=\alpha+2k\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. (3) $\cos x=a$ có điều kiện $|a|\le1$, nghiệm $x=\pm\alpha+2k\pi$ với $\cos\alpha=a$, $\alpha=\arccos a$. (4) Khi $a=1$: $\sin x=1$ có $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ (hai họ trùng nhau); $\cos x=1$ có $x=2k\pi$; $\cos x=-1$ có $x=\pi+2k\pi$. Ví dụ: $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ có $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ hoặc $x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$.

HS nêu được họ nghiệm và điều kiện xác định của $\tan x=a$, $\cot x=a$; giải thích được vì sao phải loại các giá trị làm biểu thức không xác định.

HS làm việc cặp đôi với Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ: (1) Vì sao $\tan x$ có chu kì $\pi$? (2) Với $\tan x=a$, viết nghiệm dưới dạng $\arctan a+k\pi$; xác định điều kiện $\cos x\ne0$. (3) Với $\cot x=a$, viết nghiệm $x=\alpha+k\pi$ với $\cot\alpha=a$; xác định điều kiện $\sin x\ne0$. (4) Giải $\tan x=\sqrt{3}$ và kiểm tra điều kiện.

Kết quả HS cần ghi: (1) $\tan(x+\pi)=\tan x$ nên chu kì là $\pi$. (2) $\tan x=a$ có nghiệm $x=\arctan a+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ với mọi $a\in\mathbb{R}$; các nghiệm này thoả mãn $\cos x\ne0$. (3) $\cot x=a$ có nghiệm $x=\alpha+k\pi$ với $\cot\alpha=a$; các nghiệm này thoả mãn $\sin x\ne0$. (4) $\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$ nên $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$; mọi điểm này đều có $\cos x\ne0$.

HS vận dụng công thức nghiệm, nhận biết phương trình vô nghiệm, đếm nghiệm trong khoảng và xử lý góc dạng $2x$.

HS làm bài trắc nghiệm nhanh theo bảng nhóm, sau đó giải bài tự luận đếm nghiệm. Đề: (1) Nghiệm của $\cos x=0$ là gì? A. $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ duy nhất; B. $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$; C. $x=k\pi$. (2) Phương trình nào vô nghiệm thực? A. $\tan x=1{,}2$; B. $\cos x=-1$; C. $\sin x=1{,}2$. (3) Có bao nhiêu nghiệm của $\sin x=\dfrac{1}{2}$ trong $[0;2\pi)$? (4) Có bao nhiêu nghiệm của $\tan(2x)=0$ trong $[0;\pi)$? (5) Nghiệm của $\cos(3x)=1$ là gì? A. $x=\dfrac{k\pi}{3}$; B. $x=2k\pi$ duy nhất; C. $x=\dfrac{2k\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Đáp án: (1) B; (2) C, vì $|\sin x|\le1$ nên $\sin x=1{,}2$ vô nghiệm, còn $\tan x$ nhận mọi giá trị thực và $\cos x=-1$ có nghiệm $x=\pi+2k\pi$; (3) 2 nghiệm $\dfrac{\pi}{6}$ và $\dfrac{5\pi}{6}$; (4) 2 nghiệm $0$ và $\dfrac{\pi}{2}$, vì $2x=k\pi$, $x=\dfrac{k\pi}{2}$, các điểm này làm $\tan(2x)$ có nghĩa; (5) C, vì $3x=2k\pi$ nên $x=\dfrac{2k\pi}{3}$.

HS giải được phương trình $\sin(mx+b)=a$ bằng cách giải góc trước rồi chia cho $m$; giải phương trình tích và giải thích được vì sao không chia cho $\sin x$ khi chưa xét.

HS làm bài tập 6 và bài tập 5 theo nhóm: (6) Giải $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ trên $\mathbb{R}$. (5) Đánh giá lời giải: a) $\sin x=0$ tương đương $x=k\pi$; b) $\cos x=1$ tương đương $x=2k\pi$; c) $\tan x=1$ tương đương $x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ và không còn nghiệm khác; d) $\cot x=0$ có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.

Đáp án bài 6: $2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ hoặc $2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$, suy ra $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ hoặc $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. Đáp án bài 5: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai, vì $\tan x=1$ có $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$; d) Đúng, vì $\cot x=0$ khi $\cos x=0$ và $\sin x\ne0$. Gợi ý chấm bài 6: nêu đủ hai họ góc; giải đúng $x$; kết luận đúng với $k\in\mathbb{Z}$. Chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng phương trình lượng giác cơ bản, giải và kiểm tra tính hợp lí của nghiệm trong bối cảnh.

Tình huống: Một chiếc đu quay có bánh xe quay đều. Giả sử vị trí một ghế so với tâm bánh xe được mô tả bằng $\sin\theta$, với $\theta$ là góc quay tính bằng radian, $\theta\ge0$ tính từ thời điểm xuất phát. Nhiệm vụ: (1) Viết phương trình để ghế ở vị trí có $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$. (2) Tìm hai góc nhỏ nhất $\theta\ge0$ thoả mãn. (3) Nêu lí do có thể bỏ qua giá trị $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ với $\theta<0$ trong bối cảnh này.

Phương trình $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$, nghiệm $\theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ hoặc $\theta=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$. Hai góc nhỏ nhất không âm là $\dfrac{\pi}{6}$ và $\dfrac{5\pi}{6}$ (với $k=0$). Lí do: trong bối cảnh thời gian quay từ lúc xuất phát, $\theta\ge0$ nên chỉ xét nghiệm không âm. Kết luận: ghế đạt vị trí đó lần đầu khi quay góc $\dfrac{\pi}{6}$ rad.