Giáo án Bài 3. Hàm số lượng giác

Huy động kiến thức về giá trị lượng giác tại các điểm đặc biệt và tạo tình huống để HS nhận ra cần xét miền xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn và tính đơn điệu của hàm số lượng giác.

HS quan sát hình đồ thị $y=\sin x$ và $y=\cos x$ trên học liệu số NeoEdu, cùng một hệ trục, cửa sổ $[-\pi;2\pi]$, trục hoành tính theo radian. HS trả lời ba câu hỏi:

• Câu 1: Tại $x=0$ và $x=\dfrac{\pi}{2}$, giá trị của $\sin x$ và $\cos x$ là bao nhiêu?
• Câu 2: Đồ thị hai hàm số lặp lại sau mỗi khoảng bao nhiêu? Vì sao?
• Câu 3: Có thể nói $y=\sin x$ đồng biến trên toàn $\mathbb R$ không? Vì sao?

Đáp án dự kiến:

• Câu 1: $\sin 0=0$, $\cos 0=1$; $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$.
• Câu 2: Đồ thị lặp lại sau mỗi khoảng $2\pi$, vì $\sin(x+2\pi)=\sin x$.
• Câu 3: Không. Hàm sin tăng trên $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ nhưng giảm trên $\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$, nên chỉ đơn điệu trên từng khoảng.
  Kết luận mở đầu: Hàm số lượng giác có tính tuần hoàn và chỉ đơn điệu trên từng khoảng, cần xét đầy đủ miền xác định và các khoảng.

HS nêu được miền xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì và khoảng đơn điệu của $y=\sin x$, $y=\cos x$ bằng cách quan sát đồ thị và suy luận từ biểu thức.

HS làm việc theo nhóm 4, chia nửa lớp làm hai nhóm: nhóm A tìm tính chất của $y=\sin x$, nhóm B tìm tính chất của $y=\cos x$; sau đó ghép đôi để kiểm tra chéo. Nhóm hoàn thành Phiếu học tập số 1 với các câu hỏi:

• Nêu miền xác định và tập giá trị của hàm số.
• Xét tính chẵn, lẻ bằng cách so sánh $f(-x)$ với $f(x)$.
• Tìm chu kì cơ bản $T$ bằng cách kiểm tra $f(x+T)=f(x)$.
• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến trong một chu kì $[-\pi;\pi]$, sau đó viết tổng quát với $k\in\mathbb Z$.
• Dùng đồ thị để kiểm tra kết quả.

Kiến thức HS rút ra:

• $y=\sin x$: $D=\mathbb R$, tập giá trị $[-1;1]$, hàm lẻ, chu kì $2\pi$; đồng biến trên $[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi;\dfrac{\pi}{2}+2k\pi]$, nghịch biến trên $[\dfrac{\pi}{2}+2k\pi;\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi]$.
• $y=\cos x$: $D=\mathbb R$, tập giá trị $[-1;1]$, hàm chẵn, chu kì $2\pi$; đồng biến trên $[-\pi+2k\pi;2k\pi]$, nghịch biến trên $[2k\pi;\pi+2k\pi]$.
  Lập luận mẫu: $\sin(-x)=-\sin x$ nên sin là hàm lẻ; $\cos(-x)=\cos x$ nên cos là hàm chẵn.
  Kiểm tra đồ thị: tại $x=0$, sin đi qua gốc tọa độ, cos đạt giá trị $1$.

HS nêu được miền xác định, tính chẵn lẻ, chu kì và khoảng đơn điệu của $y=\tan x$, $y=\cot x$; giải thích được vì sao không kết luận đơn điệu qua điểm gián đoạn.

HS làm việc theo cặp đôi, hoàn thành Phiếu học tập số 2 gồm:

• Vì sao $\tan x$ không xác định tại $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$? Vì sao $\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$?
• Tập giá trị của $\tan x$ và $\cot x$ là gì?
• Xét tính lẻ và chu kì của $\tan x$, $\cot x$.
• Khoảng đơn điệu của $\tan x$ trên $\left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$ và của $\cot x$ trên $(k\pi;\pi+k\pi)$.
• Thảo luận: Có thể nói $\tan x$ đồng biến trên toàn $\mathbb R\setminus\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\}$ không? Vì sao?

Kiến thức HS rút ra:

• $y=\tan x$: $D=\mathbb R\setminus\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi:k\in\mathbb Z\}$, tập giá trị $\mathbb R$, hàm lẻ, chu kì $\pi$; đồng biến trên từng khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$.
• $y=\cot x$: $D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}$, tập giá trị $\mathbb R$, hàm lẻ, chu kì $\pi$; nghịch biến trên từng khoảng $(k\pi;\pi+k\pi)$.
  Kết luận đúng: Không nói $\tan x$ đồng biến trên toàn miền, vì miền gồm nhiều khoảng và có điểm gián đoạn tại $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$; chỉ kết luận đồng biến trên từng khoảng.

HS xác định được biên độ, chu kì, đường giữa và tập giá trị của hàm số $A\sin(\omega x+\varphi)+b$ từ biểu thức đã cho.

HS làm việc theo nhóm 4 theo kĩ thuật mảnh ghép: mỗi nhóm nhận bốn thẻ kiến thức nhỏ về biên độ $|A|$, chu kì $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$, đường giữa $y=b$ và tập giá trị $[b-|A|;\,b+|A|]$. Mỗi HS nghiên cứu một thẻ trong 3 phút rồi chia sẻ với nhóm. Nhiệm vụ chung: với $y=2\sin x-3$ và $y=\sin(4x)$, xác định biên độ, chu kì, đường giữa và tập giá trị.

Kiến thức HS rút ra:

• Với $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$, $A\omega\ne 0$: chu kì cơ bản $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$, biên độ $|A|$, đường giữa $y=b$, tập giá trị $[b-|A|;\,b+|A|]$.
  Ví dụ: $y=2\sin x-3$ có biên độ $2$, đường giữa $y=-3$, tập giá trị $[-5;-1]$ vì $-2\le 2\sin x\le 2$ rồi trừ 3.
  $y=\sin(4x)$ có chu kì $T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$.
  Lưu ý: $\varphi$ làm dịch chuyển đồ thị theo trục hoành nhưng không thay đổi chu kì và biên độ.

HS vận dụng tính chẵn lẻ, chu kì, khoảng đơn điệu và tập giá trị để trả lời nhanh các câu hỏi trắc nghiệm và đúng sai, đồng thời giải thích được lựa chọn.

Trò chơi theo nhóm: GV chiếu từng câu, nhóm giơ thẻ A, B hoặc C và cử đại diện giải thích ngắn.

• Câu 1: Miền xác định của $y=\cot x$ là gì? A. $\mathbb R\setminus\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi:k\in\mathbb Z\}$; B. $\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}$; C. $\mathbb R$.
• Câu 2: Hàm nào chẵn? A. $y=\sin x$; B. $y=\tan x$; C. $y=\cos x$.
• Câu 3: Giá trị lớn nhất của $y=3-2\cos x$ trên $\mathbb R$ là bao nhiêu? A. 1; B. 3; C. 5.
• Câu 4: $\cos x$ nghịch biến trên khoảng nào? A. $(-\pi;0)$; B. $(\pi;2\pi)$; C. $(0;\pi)$.
• Câu 5 (đúng hay sai): a) $\sin x$ đồng biến trên $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$; b) $\tan x$ đồng biến trên toàn $\mathbb R$; c) $2\sin x+1$ nhận mọi giá trị trong $[-1;3]$; d) $\cos(x+\pi)=\cos x$ với mọi $x$.

Đáp án và lập luận:

• Câu 1: B, vì $\sin x\ne 0$ khi $x\ne k\pi$.
• Câu 2: C, vì $\cos(-x)=\cos x$; sin và tan là hàm lẻ.
• Câu 3: C, vì $\cos x=-1$ cho $y=3+2=5$.
• Câu 4: C, vì trên $(0;\pi)$ cos giảm từ 1 đến $-1$.
• Câu 5: a) Đúng; b) Sai, vì tan chỉ đồng biến trên từng khoảng và không xác định tại $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$; c) Đúng, vì $2\sin x+1\in[-1;3]$; d) Sai, vì $\cos(x+\pi)=-\cos x$.

HS vận dụng điều kiện mẫu thức khác 0 để tìm miền xác định của hàm phân thức lượng giác và tính chu kì của hàm $\sin(\omega x)$; trình bày lời giải có lập luận từng bước.

HS làm việc cá nhân trong 4 phút, sau đó kiểm tra chéo với bạn ngồi cạnh:

• Bài 7: Xác định miền xác định của $y=\dfrac{1}{1-\sin x}$.
• Bài 4: Chu kì cơ bản của $y=\sin(4x)$ là $T=c\pi$. Tính $c$.
  Gợi ý: chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện, ví dụ $x\ne\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ hoặc viết theo nghiệm của $\sin x=1$.

Đáp án:

• Bài 7: Mẫu khác 0 nên $\sin x\ne 1$, tức $x\ne\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Miền xác định: $D=\mathbb R\setminus\{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi:k\in\mathbb Z\}$. Không loại thêm các điểm có $\sin x=-1$ vì khi đó mẫu bằng 2.
• Bài 4: $T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}=c\pi$, suy ra $c=0{,}5$.

HS vận dụng hàm số $A\sin(\omega x+\varphi)+b$ để mô hình hoá sự thay đổi mực nước theo thời gian, tìm khoảng giá trị, chu kì và thời điểm đạt cực đại đầu tiên.

Tình huống (mô hình giả định để luyện tập, không dựa trên dữ liệu thực tế): mực nước tại một cửa biển được mô tả bởi $h(t)=4+1{,}5\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$, trong đó $t$ là số giờ kể từ 0 giờ, $h$ là độ cao tính bằng mét. Nhiệm vụ theo nhóm 4:

• Tìm khoảng giá trị của $h(t)$.
• Tìm chu kì của mô hình và đơn vị của chu kì.
• Tìm thời điểm $t\ge 0$ đầu tiên mà mực nước đạt cực đại.
  Nhóm trình bày bằng ngôn ngữ toán học và giải thích ý nghĩa thực tế.

Lời giải dự kiến:

• Khoảng giá trị: vì $-1\le\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\le 1$ nên $h(t)\in[2{,}5;\,5{,}5]$ (mét).
• Chu kì: $T=\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12$ (giờ).
• Mực nước đạt cực đại khi $\dfrac{\pi t}{6}=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, suy ra $t=3+12k$; với $t\ge 0$, thời điểm đầu tiên là $t=3$ giờ, khi đó $h=5{,}5$ m.
  Ý nghĩa: mô hình chỉ là giả định để luyện tập, không thay thế dự báo thực tế.