Giáo án Ước tính số cá thể trong một quần thể

Tạo tình huống có vấn đề: không thể đếm hết mọi cá thể trong một quần thể, cần ước tính; HS nhận ra cần một phương pháp dựa trên mẫu.

GV nêu tình huống: “Một hồ nước có rất nhiều cá, không thể bắt hết để đếm. Các nhà sinh học làm thế nào để ước tính số cá trong hồ?” HS suy nghĩ cá nhân 1 phút, sau đó trao đổi cặp đôi 1 phút và nêu ý kiến. Câu hỏi GV đặt thêm: “Nếu chỉ bắt một mẻ lưới rồi đếm, kết quả có đại diện cho cả hồ không? Vì sao?”

HS nêu được: không đếm hết được nên phải ước tính từ một mẫu; mẫu chỉ là một phần, kết quả có thể dao động; cần một cách “đánh dấu rồi lấy mẫu lại” để suy ra tổng số N. Kết luận ban đầu: bài toán cần ước tính N từ dữ liệu mẫu, không phải đếm chính xác.

HS hiểu quy trình đánh dấu–lấy mẫu lại, các giả thiết cần có, và thiết lập được công thức $\mathrm{N}_{\mathrm{nh}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{t}} = \dfrac{Mn}{k}$ từ tỉ lệ $\dfrac{k}{n} \approx \dfrac{M}{N}$.

Nhóm 4 HS thực hành với hộp 200 thẻ giấy trong đó có 40 thẻ đánh dấu (GV biết M = 40, HS chưa biết N = 200). Các bước: (1) Trộn đều bộ thẻ trong hộp. (2) Không nhìn, lấy ngẫu nhiên n = 30 thẻ. (3) Đếm số thẻ đánh dấu k trong mẫu, ghi lại rồi trả thẻ về hộp, trộn đều. (4) Lặp lại cho đến khi có đủ 3 lần lấy mẫu, mỗi lần ghi n, k và tính Nhat. Câu hỏi thảo luận: “Vì sao tỉ lệ đánh dấu trong mẫu $\dfrac{k}{n}$ được coi là xấp xỉ tỉ lệ $\dfrac{M}{N}$ trong cả quần thể?”; “Nếu k = 0 thì có chia được không?”. Sau khi tính xong, nhóm mở hộp kiểm đếm N đúng và so sánh.

Phiếu ghi số liệu của nhóm gồm M = 40, n = 30, k và Nhat. Ví dụ đối với k = 6: $\mathrm{N}_{\mathrm{nh}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{t}} = \dfrac{40 \cdot 30}{6} = 200$. Kiến thức HS rút ra: (a) Từ $\dfrac{k}{n} \approx \dfrac{M}{N}$ suy ra $N \approx \dfrac{Mn}{k}$ với $k > 0$. (b) Kết quả thay đổi giữa các lần lấy mẫu vì mẫu ngẫu nhiên. (c) Khi $k = 0$, công thức không áp dụng được, không được coi N bằng 0 hay vô cực.

HS tính được sai số tuyệt đối, sai số tương đối và nhận biết sự khác biệt giữa sai số đo được khi biết N đúng và đánh giá khi chỉ có mẫu.

GV xét dữ liệu giả với M = 40, N đúng = 200 và ba lần lấy mẫu: lần 1 (n, k) = (20, 4); lần 2 (n, k) = (40, 10); lần 3 (n, k) = (60, 12). HS tính Nhat, sai số tuyệt đối $\Delta = |200 - N_{\mathrm{nh}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{t}}|$ và sai số tương đối $\delta = \dfrac{\Delta}{|N_{\mathrm{nh}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{t}}|}$ theo quy ước. Câu hỏi thảo luận: “Lần 2 có cỡ mẫu lớn hơn lần 1 nhưng sai số lại lớn hơn. Điều này có mâu thuẫn với việc mẫu lớn hơn thì tốt hơn không?”; “Nếu chỉ có dữ liệu mẫu mà không biết N đúng, ta có tính được Δ không?”

Lần 1: Nhat = $\dfrac{40 \cdot 20}{4} = 200$, $\Delta = 0$, $\delta = 0\%$. Lần 2: Nhat = $\dfrac{40 \cdot 40}{10} = 160$, $\Delta = 40$, $\delta = \dfrac{40}{160} = 25\%$. Lần 3: Nhat = $\dfrac{40 \cdot 60}{12} = 200$, $\Delta = 0$, $\delta = 0\%$. Kiến thức HS rút ra: (a) Mẫu lớn hơn không bảo đảm một kết quả cụ thể chính xác hơn; mẫu lớn thường giúp ước tính ổn định hơn trong điều kiện phù hợp. (b) Δ chỉ tính được khi biết N đúng, tức là khi kiểm mô hình; khi chỉ có mẫu thì chỉ đánh giá được độ dao động của các ước tính. (c) Khi thước đo δ được tính theo Nhat, cần ghi rõ quy ước; nếu chia cho N đúng thì phải gọi đó là một thước đo khác.

HS vận dụng công thức ước tính, tính sai số, nhận biết điều kiện $k > 0$ và tránh các kết luận sai khi làm việc với dữ liệu mẫu.

Làm việc cá nhân rồi cặp đôi với các bài sau. (1) Biết M = 40, n = 30, k = 6. Tính Nhat. (2) Khi k = 0, công thức $\dfrac{Mn}{k}$ được dùng thế nào? A. Cho N = 0; B. Cho N vô cực chắc chắn; C. Không áp dụng được, cần phương án lấy mẫu khác; D. Thay k = 1. (3) Biết N đúng = 200, Nhat = 160. Tính sai số tuyệt đối. (4) Với Nhat = 160, Δ = 40, tính sai số tương đối theo phần trăm $\delta = \dfrac{\Delta}{|N_{\mathrm{nh}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{t}}|}$. (5) Đúng hay sai: tăng n trong một lần lấy mẫu bảo đảm sai số lần đó luôn nhỏ hơn lần trước. (6) Điều nào làm giả thiết đánh dấu–lấy lại yếu đi? A. Trộn đều trước khi lấy; B. Dấu không ảnh hưởng đến cơ hội được lấy; C. Thẻ đánh dấu chỉ nằm trên mặt và dễ được lấy hơn; D. Trả mẫu lại theo kế hoạch.

Đáp án: (1) Nhat = $\dfrac{40 \cdot 30}{6} = 200$. (2) Đáp án C: vì $k = 0$ nên phép chia không xác định, không tự thay dữ liệu. (3) $\Delta = |200 - 160| = 40$. (4) $\delta = \dfrac{40}{160} \cdot 100\% = 25\%$. (5) Sai: ngẫu nhiên có dao động; ví dụ với n = 20, k = 4 cho Nhat = 200 (đúng), còn n = 40, k = 10 cho Nhat = 160 (sai 40). (6) Đáp án C: mẫu bị lệch làm tỉ lệ $\dfrac{k}{n}$ không phản ánh $\dfrac{M}{N}$. HS hoàn thành đáp án vào vở và tự sửa lỗi sai.

HS vận dụng toàn bộ quy trình để lập phiếu ước tính, viết bảng sai số, đưa kết luận có giới hạn và phản biện một kết luận sai trong tình huống thực tế mô phỏng.

Nhóm thực hiện hai nhiệm vụ trong phiếu học tập số 2 (phần B và C). Nhiệm vụ B: với M = 40, N đúng = 200 và ba lần (n, k) = (20, 4), (40, 10), (60, 12), lập phiếu ước tính và bảng sai số; viết kết luận có giới hạn. Nhiệm vụ C: một nhóm khác ghi “N = 0, sai số 0” khi lần lấy mẫu đầu có k = 0. Nhóm hãy phản biện, nêu điều kiện còn thiếu và đề xuất kế hoạch lấy mẫu tiếp theo an toàn (dùng thẻ giấy, giữ M và N không đổi, lấy mẫu lớn hơn hoặc lặp lại theo kế hoạch đã được GV duyệt). Tình huống thực tế: ước tính số cá thể trong một quần thể thật sẽ phải dựa trên kế hoạch được chuyên gia và GV duyệt, không tự tiến hành bắt động vật.

Phiếu ước tính gồm: Quy trình (đánh dấu M = 40, lấy mẫu n, đếm k); giả thiết (quần thể kín, dấu không mất, trộn đều); bảng Nhat và sai số cho ba lần (lần 1: 200, Δ = 0; lần 2: 160, Δ = 40, δ = 25%; lần 3: 200, Δ = 0). Kết luận mẫu: “Ước tính N khoảng 200 với dao động giữa các lần; kết quả chỉ là ước tính, không bảo đảm cho từng lần.” Phản biện nhiệm vụ C: không được kết luận N = 0 vì $k = 0$ không cho phép dùng công thức; sai số không tính được khi chưa biết N đúng; kế hoạch tiếp theo: kiểm tra việc trộn đều và đánh dấu, lấy thêm mẫu lớn hơn theo kế hoạch đã duyệt, không thay k = 0 bằng 1 hay bịa N.