Giáo án Bài tập ôn tập cuối năm

Kích hoạt kiến thức nền về mệnh đề có ký hiệu $\forall$, $\exists$, tập hợp, tích vô hướng và tổ hợp; nhận diện nhanh các lỗi thường gặp.

HS trả lời bốn câu hỏi ngắn:
(a) Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge 0$” là gì? Chọn phương án: A. $\forall x,\ x^2<0$; B. $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2<0$; C. $\exists x,\ x^2\ge 0$; D. $\forall x,\ x^2=0$.
(b) Biết $|A|=12$, $|B|=15$, $|A\cap B|=4$. Tính $|A\cup B|$.
(c) Tính $(-2;3)\cdot(4;1)$.
(d) Tính $C_6^3$.

Đáp án: (a) B, vì đổi $\forall$ thành $\exists$ và đổi $\ge$ thành $<$; (b) $|A\cup B|=12+15-4=23$; (c) $(-2)\cdot 4+3\cdot 1=-5$; (d) $C_6^3=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3!}=20$. HS nêu được lý do cho câu (a) và (d) bằng một câu ngắn.

Hệ thống hoá các kiến thức nền: mệnh đề có lượng từ, hợp hai tập hợp, tích vô hướng, tổ hợp và xác suất cổ điển.

Nhóm chuyên gia (4 nhóm, mỗi nhóm một chuyên đề trong Phiếu học tập số 1 trong 6 phút):

• Nhóm A: Mệnh đề có $\forall$, $\exists$ và phủ định; công thức $|A\cup B|$ (bài 1, bài 2).
• Nhóm B: Tích vô hướng theo tọa độ (bài 3).
• Nhóm C: Công thức $C_n^k$ và đếm kết quả (bài 5).
• Nhóm D: Xác suất cổ điển $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ với hai đồng xu cân đối (bài 6).
  Sau đó HS đổi sang nhóm mảnh ghép gồm đủ bốn chuyên đề, mỗi thành viên truyền đạt lại chuyên đề của mình trong 2 phút.

Phiếu học tập số 1 được hoàn thành với các nội dung chính:

• Phủ định: $\forall x\in X,\ P(x)$ có phủ định $\exists x\in X,\ \overline{P(x)}$; ví dụ $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge 0$ có phủ định $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2<0$.
• Hợp hai tập: $|A\cup B|=12+15-4=23$.
• Tích vô hướng: $(-2;3)\cdot(4;1)=-8+3=-5$.
• Tổ hợp: $C_6^3=20$.
• Xác suất: $\Omega=\{NN,NS,SN,SS\}$, $P(\text{hai mặt khác nhau})=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, đáp án B.
  Mỗi HS ghi được ít nhất một điều kiện cần kiểm cho chuyên đề của mình.

Hệ thống hoá cách tính các số đặc trưng của mẫu số liệu, cách xét dấu tam thức bậc hai và cách giải phương trình chứa căn có đối chiếu điều kiện.

Các nhóm 4 HS làm việc trên khăn trải bàn, chia 3 ô:

• Ô 1: Mẫu 1, 1, 3, 3. Tính số trung bình, trung vị, $Q_1$, $Q_3$, phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s$; giải thích quy ước chia cho $n$.
• Ô 2: Mẫu 1, 3, 4, 6. Tính trung vị.
• Ô 3: Với $f(x)=x^2-6x+5$, tìm đỉnh; xét dấu $f(x)$; giải $\sqrt{3x+4}=x$ với điều kiện.
  HS ghi kết quả vào ô của mình, sau đó đổi chéo để kiểm tra kết quả của nhóm bạn.

Kết quả cần đạt:

• Mẫu 1, 1, 3, 3: số trung bình $\bar{x}=2$; trung vị $\dfrac{1+3}{2}=2$; $Q_1=1$; $Q_3=3$; $s^2=\dfrac{(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2}{4}=1$; $s=1$. Quy ước: chia cho $n=4$, không dùng $n-1$.
• Mẫu 1, 3, 4, 6: trung vị $\dfrac{3+4}{2}=3{,}5$.
• $f(x)=(x-3)^2-4$, đỉnh $(3;-4)$; $f(x)=(x-1)(x-5)$ nên $f(x)\le 0$ khi $x\in[1;5]$.
• $\sqrt{3x+4}=x$: điều kiện $x\ge 0$; bình phương được $x^2-3x-4=0$, suy ra $x=4$ hoặc $x=-1$; loại $x=-1$ vì $x<0$; thử lại $\sqrt{16}=4$, nghiệm là $x=4$.

Hệ thống hoá cách tính cạnh và diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa; cách mô tả miền nghiệm và tìm giá trị lớn nhất của hàm tuyến tính trên miền đó.

Cả lớp cùng thực hiện trên bảng phụ, mỗi HS vẽ hình vào vở. GV nêu hai câu hỏi:
(1) Tam giác có $CA=4$, $CB=6$, $\widehat{C}=60^\circ$. Tính $AB$ và diện tích $S$.
(2) Trên miền $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 4$, $2x+y\le 6$, tìm giá trị lớn nhất của $F=3x+2y$ bằng cách xét các đỉnh.

(1) $AB^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cdot\cos 60^\circ=28$, suy ra $AB=2\sqrt{7}$; $S=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ=6\sqrt{3}$. Điều kiện: $2<2\sqrt{7}<10$ nên tam giác hợp lệ.
(2) Các đỉnh của miền: $(0;0)$, $(3;0)$, $(2;2)$, $(0;4)$; giá trị $F$ tương ứng là $0$, $9$, $10$, $8$; giá trị lớn nhất là $10$ đạt tại $(2;2)$. Kiểm lại: $2+2=4\le 4$ và $2\cdot 2+2=6\le 6$.

Vận dụng các kiến thức đã hệ thống hoá để giải bài tối ưu tuyến tính và bài tam giác, có đối chiếu điều kiện và đánh giá kết quả.

Bài 1 (cá nhân, 5 phút): Tìm giá trị lớn nhất của $F=3x+2y$ với $x,y\ge 0$, $x+y\le 4$, $2x+y\le 6$. Vẽ miền, liệt kê đỉnh, kiểm nghiệm.
Bài 2 (cặp đôi, 20 phút): Tam giác có $CA=4$, $CB=6$, $\widehat{C}=60^\circ$. Tính $AB$, $S$ và đánh giá tam giác có hợp lệ không. Một HS giải, một HS kiểm tra theo ba loại kiểm, sau đó đổi vai.

Bài 1: miền có các đỉnh $(0;0)$, $(3;0)$, $(2;2)$, $(0;4)$; $F=0$, $9$, $10$, $8$; $\max F=10$ tại $(2;2)$. Kiểm: $2+2=4$, $2\cdot2+2=6$, hai toạ độ không âm.
Bài 2: $AB=2\sqrt{7}$; $S=6\sqrt{3}$; tam giác hợp lệ vì $2<2\sqrt{7}<10$ và góc $60^\circ$ nằm giữa hai cạnh dương. Dữ kiện chính xác thì giữ dạng căn, không bắt làm tròn.
Tiêu chí chấm: đúng và đủ điều kiện (0,25 điểm), tính đúng cạnh (0,4 điểm), diện tích (0,2 điểm), kết luận có đối chiếu (0,15 điểm).

Vận dụng kiến thức về số liệu thống kê, tam thức bậc hai và phương trình căn để giải bài tập có kiểm tra điều kiện và đối chiếu kết quả.

Bài 3 (nhóm 4 HS, 12 phút): Mẫu 1, 1, 3, 3: tính $\bar{x}$, trung vị, $Q_1$, $Q_3$, $s^2$, $s$ và giải thích quy ước.
Bài 4 (cá nhân, 8 phút): Với $f(x)=x^2-6x+5$, tìm đỉnh, giải $f(x)\le 0$; giải $\sqrt{3x+4}=x$ với cả điều kiện.

Bài 3: $\bar{x}=2$; trung vị $2$; $Q_1=1$; $Q_3=3$; $s^2=1$; $s=1$. Quy ước: chia cho $n=4$; tứ phân vị là trung vị của hai nửa dữ liệu đã sắp xếp.
Bài 4: đỉnh $(3;-4)$; $f(x)\le 0$ khi $x\in[1;5]$; phương trình có nghiệm $x=4$, loại $x=-1$ vì $x<0$ và $\sqrt{3\cdot(-1)+4}=1\ne -1$.
Tiêu chí chấm: đỉnh (0,25 điểm), dấu (0,25 điểm), phương trình căn (0,25 điểm), điều kiện và kiểm tra (0,25 điểm).

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng tam giác và thống kê; đánh giá giới hạn của số liệu đo đạc và kết luận có đơn vị rõ ràng.

Nhiệm vụ nhóm 4 HS (thực hiện trong giờ và hoàn thiện ở nhà):
(1) Đo khoảng cách từ hai điểm $A$, $B$ đến một điểm $C$ cố định trong sân trường (đơn vị mét) và đo góc $\widehat{C}$ bằng thước đo góc; tính $AB$ bằng định lí côsin và diện tích tam giác $ABC$.
(2) Thu thập điểm kiểm tra môn Toán của 8 bạn trong lớp, tính số trung bình, trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn; nêu một nhận xét về mức độ đồng đều của điểm.

Sản phẩm nhóm gồm: bảng số liệu đo đạc có đơn vị (m, độ); kết quả $AB^2=CA^2+CB^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot\cos\widehat{C}$ và $S=\dfrac{1}{2}\cdot CA\cdot CB\cdot\sin\widehat{C}$ kèm đơn vị; bảng tính các số đặc trưng thống kê kèm nhận xét về phương sai và giới hạn của số liệu (sai số đo, số lượng mẫu ít).
Tiêu chí: nêu đúng đơn vị (0,25 điểm), tính đúng (0,4 điểm), kiểm tra điều kiện tam giác (0,2 điểm), nhận xét có căn cứ từ số liệu (0,15 điểm).