Giáo án Bài tập cuối chương 9

Huy động kiến thức cũ về không gian mẫu và đặt ra vấn đề cần đếm có thứ tự khi hai xúc xắc phân biệt.

GV gieo đồng thời hai xúc xắc trước lớp, yêu cầu HS đọc to kết quả dạng cặp $(x;y)$. Sau đó GV đặt câu hỏi: 'Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra khi gieo hai xúc xắc? Vì sao $(1;2)$ và $(2;1)$ được tính là hai kết quả khác nhau?' và 'Nếu chỉ quan tâm tổng số chấm thì có bao nhiêu giá trị có thể xảy ra?'.

HS nêu được: không gian mẫu gồm $n(\Omega)=6\times 6=36$ cặp đồng khả năng, vì hai xúc xắc phân biệt và kết quả của xúc xắc thứ nhất không ảnh hưởng đến xúc xắc thứ hai. Tổng số chấm chỉ nhận các giá trị từ 2 đến 12, nhưng các giá trị này không đồng khả năng vì số cặp ứng với mỗi tổng khác nhau.

Hệ thống hoá cách đếm số kết quả thuận lợi cho từng biến cố: tổng bằng 7, hai mặt giống nhau, có ít nhất một mặt 6, tổng lớn hơn 10.

Các nhóm (4 HS) trải khăn có bảng 6 × 6, mỗi ô là một cặp $(x;y)$, hàng là xúc xắc thứ nhất, cột là xúc xắc thứ hai. Nhóm đánh dấu từng biến cố bằng màu khác nhau và đếm số ô được đánh dấu. Câu hỏi gợi ý: (1) Các ô có tổng bằng 7 nằm ở đường nào của bảng? (2) Các ô có hai mặt giống nhau nằm ở đâu? (3) Có bao nhiêu cặp có ít nhất một mặt 6? Có thể đếm trực tiếp hoặc dùng phần bù: số cặp không có mặt 6 là bao nhiêu? (4) Các ô có tổng lớn hơn 10 gồm những cặp nào?

Kết quả nhóm ghi được: tổng bằng 7 có 6 cặp $(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)$; hai mặt giống nhau có 6 cặp $(1;1),(2;2),\dots,(6;6)$; ít nhất một mặt 6 có $36-5\times 5=11$ cặp (các cặp không có mặt 6 là $5\times 5=25$ cặp); tổng lớn hơn 10 có 3 cặp $(5;6),(6;5),(6;6)$. Kiến thức rút ra: đếm bằng bảng và phần bù giúp tránh đếm trùng cặp $(6;6)$.

Vận dụng công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển, công thức biến cố đối và cách đếm tổ hợp khi rút không hoàn lại không có thứ tự.

Nhóm lập sơ đồ tư duy tóm tắt: (1) Công thức $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$; (2) Biến cố đối $\overline{A}$ và công thức $P(\overline{A})=1-P(A)$; (3) Rút 2 thẻ từ 7 thẻ phân biệt, không hoàn lại, không phân thứ tự: số cách là $C_7^2$. GV đặt câu hỏi: 'Nếu $P(A)=0{,}2$ thì $P(\overline{A})$ bằng bao nhiêu?' và 'Vì sao rút không hoàn lại và không thứ tự thì dùng $C_7^2$ mà không dùng $7\times 6$?'.

Sơ đồ tư duy gồm: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ với $0\le P(A)\le 1$; $P(\overline{A})=1-P(A)$; với $P(A)=0{,}2$ thì $P(\overline{A})=0{,}8$. Rút 2 thẻ từ 7 thẻ không hoàn lại, không thứ tự có $C_7^2=\dfrac{7\cdot 6}{2}=21$ cách, vì mỗi cặp thẻ được tính một lần. Kiến thức rút ra: phân biệt có thứ tự ($7\times 6=42$) và không thứ tự (21).

Giải đúng các câu hỏi trắc nghiệm và đúng/sai về xúc xắc (bài 1 đến 9) và rèn luyện cách đối chiếu điều kiện đề bài.

Nhóm cặp đôi hoàn thành phiếu học tập số 1 (phần B, bài 1 đến 9). Với các câu trắc nghiệm, HS giải thích lý do chọn đáp án. Với câu đúng/sai (bài 8), HS phải chỉ ra sai ở đâu. Sau đó, cặp đôi đối chiếu đáp án trên trang bài tập tương tác NeoEdu (nếu có thiết bị) hoặc với bảng đáp án GV phát.

Đáp án phiếu số 1: Bài 2: 36. Bài 3: 6 cặp $(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)$. Bài 4: A ($\dfrac{1}{6}$, vì $\dfrac{6}{36}$). Bài 5: 11. Bài 6: B ($\dfrac{1}{6}$, vì có 6 cặp hai mặt giống trên 36). Bài 7: 3 cặp $(5;6),(6;5),(6;6)$. Bài 8: Sai, vì các tổng không đồng khả năng (tổng 2 có 1 cặp, tổng 7 có 6 cặp). Bài 9: B ($0{,}8$, vì $1-0{,}2$). Bài 1 là phần mô tả điều kiện: hai xúc xắc phân biệt, cân đối, độc lập, cặp có thứ tự.

Giải bài rút 2 thẻ không thứ tự (bài 10) và nhận biết giới hạn của kết quả thực nghiệm so với xác suất lý thuyết.

Cá nhân làm câu 10 trên phiếu học tập số 2: Rút 2 thẻ không thứ tự từ 7 thẻ phân biệt. Sau đó cả lớp thảo luận: 'Nếu gieo 2 xúc xắc 30 lần, tần suất tổng bằng 7 có đúng bằng $\dfrac{1}{6}$ không? Vì sao?'. GV có thể mở bài tương tác NeoEdu để HS kiểm tra nhanh.

Đáp án câu 10: $C_7^2=21$ cách rút (phân biệt với 42 nếu có thứ tự). Kết luận về giới hạn: tần suất trong một số ít lần thử có thể lệch khỏi $\dfrac{1}{6}$, vì tần suất mẫu không phải là xác suất ở từng lần; xác suất chỉ là giá trị lý thuyết khi đủ điều kiện đồng khả năng và số lần thử lớn.

Mô hình hoá tình huống thực tế (chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong 7 bạn) bằng cách đếm tổ hợp và tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.

Tổ 7 bạn được bốc thăm để chọn 2 bạn trực nhật. Mỗi bạn được ghi vào một thẻ, rút 2 thẻ không hoàn lại, không phân thứ tự. Câu hỏi: (1) Có bao nhiêu cách chọn 2 bạn? (2) Xác suất để bạn An và bạn Bình cùng được chọn là bao nhiêu? (3) Xác suất để không chọn bạn An là bao nhiêu? Kiểm tra kết quả bằng biến cố đối.

(1) $C_7^2=21$ cách. (2) Chỉ có 1 cặp $\{An;Bình\}$ thuận lợi, nên $P=\dfrac{1}{21}$. (3) Số cách chọn có An là $C_6^1=6$ cách, nên xác suất có An là $\dfrac{6}{21}=\dfrac{2}{7}$; xác suất không chọn An là $1-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}$; kiểm tra: số cách không có An là $C_6^2=15$, $\dfrac{15}{21}=\dfrac{5}{7}$, khớp với kết quả. Kết luận: cách chọn ngẫu nhiên là công bằng khi các cặp đồng khả năng.