Giáo án Bài 27. Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

HS nhớ lại ý tưởng đếm không gian mẫu và nhận ra rằng cách đếm phải khớp với cách rút bi, từ đó xác định nhiệm vụ của tiết học.

GV đưa tình huống: Hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, mỗi viên phân biệt. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 viên (không hoàn lại).
Câu hỏi 1: Có bao nhiêu kết quả có thể nếu không xét thứ tự hai viên? Nếu xét thứ tự thì có bao nhiêu kết quả?
Câu hỏi 2: Xác suất để lấy được đúng một bi đỏ và một bi xanh là bao nhiêu?
Câu hỏi 3: Có thể lấy kết quả $\dfrac{12}{25}$ (của trường hợp có hoàn lại) làm đáp án cho tình huống này không? Vì sao?

Câu trả lời dự kiến:

• Không xét thứ tự: $C_5^2=10$ kết quả. Có xét thứ tự: $5 \times 4=20$ kết quả.
• Đúng một đỏ, một xanh: $3 \times 2=6$ cặp, nên $P=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$.
• Không dùng $\dfrac{12}{25}$ vì $\dfrac{12}{25}$ là kết quả của việc rút có hoàn lại, còn đề bài là rút không hoàn lại.
  Kết luận nêu ở đầu tiết: Cách đếm phải khớp với cách rút; tử số và mẫu số phải cùng quy ước.

HS hệ thống lại quy trình thực hành: xác định phép thử, đếm $\Omega$, đếm biến cố thuận lợi, chọn cách đếm (trực tiếp hoặc biến cố đối) và phân biệt rút có hoàn lại với không hoàn lại.

HS làm việc nhóm 4 người với Phiếu học tập số 1 (bảng hệ thống hoá). Nhóm đọc Bài 1 của phần Bài tập (mô hình hộp 3 đỏ 2 xanh) để xác định các giả thiết: năm viên phân biệt, đồng khả năng, rút không hoàn lại không xét thứ tự.
Nhiệm vụ: điền bốn ô của phiếu: (1) Phép thử và đơn vị kết quả; (2) Điều kiện đồng khả năng và quy ước đếm; (3) Cách đếm $\Omega$ và biến cố thuận lợi; (4) Điểm cần tránh khi đề có "có hoàn lại".

Nội dung HS hoàn thành trên Phiếu học tập số 1:

• Phép thử: rút 2 viên từ hộp 5 viên phân biệt; đơn vị kết quả là một tập con gồm 2 viên.
• Đồng khả năng: mỗi viên có cùng cơ hội được lấy; quy ước không xét thứ tự thì dùng $C_5^2=10$ cho $\Omega$.
• Đếm: biến cố thuận lợi đếm trực tiếp (ví dụ $3 \times 2=6$) hoặc đếm biến cố đối cho "ít nhất" (ví dụ $1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}$).
• Điểm cần tránh: nếu đề nêu có hoàn lại thì không gian mẫu và số cách đổi (ví dụ $5 \times 5=25$); không dùng công thức không hoàn lại rồi giữ mẫu số cũ.
  Kết luận nhóm: Xác suất thực hành là bài toán mô hình tổ hợp, không phải tần suất quan sát được.

HS vận dụng công thức $C_n^k$, phép nhân số cách và quy ước không thứ tự để giải nhanh các câu trắc nghiệm về hộp bi không hoàn lại.

HS làm cá nhân 2 phút, sau đó đổi vở cho bạn cùng bàn kiểm tra và giải thích. Các câu:
Câu 2: 5 viên phân biệt, rút 2 viên không hoàn lại, không xét thứ tự. Có bao nhiêu cặp?
Câu 3: Hộp 3 đỏ, 2 xanh, rút 2 viên không hoàn lại. Xác suất đúng một viên mỗi màu? A. $\dfrac{3}{10}$; B. $\dfrac{3}{5}$; C. $\dfrac{2}{5}$; D. $\dfrac{12}{25}$.
Câu 4: Cùng hộp đó, xác suất ít nhất một viên xanh? A. $\dfrac{3}{10}$; B. $\dfrac{7}{10}$; C. $\dfrac{1}{10}$; D. $\dfrac{1}{2}$.
Câu 6: Rút 2 viên không hoàn lại từ 5 viên, nếu xét thứ tự thì có bao nhiêu kết quả?

Đáp án và lời giải:

• Câu 2: $C_5^2=10$ cặp.
• Câu 3: Đáp án B. Số cặp thuận lợi $3 \times 2=6$, $P=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$.
• Câu 4: Đáp án B. Biến cố đối là cả hai viên đỏ, có $C_3^2=3$ cách, $P=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}$.
• Câu 6: 20 kết quả, vì $5 \times 4=20$.
  HS tự nhận xét: đáp án D của câu 3 là kết quả của rút có hoàn lại, không dùng cho đề này.

HS đánh giá tính đúng sai của một lập luận, phân biệt có hoàn lại và không hoàn lại, và giải các bài đếm "khác màu", "cùng màu", "ít nhất một đỏ" bằng cách đếm nhất quán.

Chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm nhận một nhiệm vụ trong Phiếu học tập số 2 (Bài 5, Bài 7, Bài 8, Bài 9). Nhóm trình bày lời giải trên giấy A3, sau đó đại diện giải thích cho cả lớp.
Bài 5 (nhận định): Có ý kiến cho rằng: với hộp 3 đỏ 2 xanh, rút 2 viên không hoàn lại, số cặp có thứ tự thuận lợi là 12 nên xác suất đúng một mỗi màu là $\dfrac{12}{10}$. Đúng hay sai? Vì sao?
Bài 7: Hộp 3 đỏ 2 xanh, lấy ngẫu nhiên hai lần có hoàn lại, các lần độc lập. Xác suất mỗi màu một viên? A. $\dfrac{3}{5}$; B. $\dfrac{6}{25}$; C. $\dfrac{12}{25}$; D. $\dfrac{7}{10}$.
Bài 8: Hộp 4 đỏ, 3 xanh, rút đều 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất khác màu và xác suất cùng màu.
Bài 9: Hộp 4 đỏ, 3 xanh, rút đều 3 viên không hoàn lại. Tính $P$(ít nhất một đỏ).

Đáp án và lời giải:

• Bài 5: Sai. Tử số 12 là số cặp có thứ tự trong không gian mẫu 20, còn mẫu số 10 là không gian mẫu không thứ tự; hai đại lượng không cùng quy ước. Phát biểu đúng là $\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}$ hoặc $\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$. Kết quả $\dfrac{12}{10}>1$ là mâu thuẫn, xác suất không thể lớn hơn 1.
• Bài 7: Đáp án C. Đỏ–xanh hoặc xanh–đỏ: $\dfrac{3 \times 2 + 2 \times 3}{25}=\dfrac{12}{25}$.
• Bài 8: $\Omega$ có $C_7^2=21$ kết quả. Khác màu: $4 \times 3=12$, $P=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}$. Cùng màu: $C_4^2+C_3^2=6+3=9$, $P=\dfrac{9}{21}=\dfrac{3}{7}$. Tổng bằng 1 vì hai biến cố đối nhau.
• Bài 9: $\Omega$ có $C_7^3=35$. Biến cố đối là cả 3 viên xanh, có $C_3^3=1$ cách. $P=1-\dfrac{1}{35}=\dfrac{34}{35}$.

HS mô hình hoá một tình huống thực tế (chọn ngẫu nhiên bạn trực nhật trong tổ) thành bài toán xác suất theo định nghĩa cổ điển và giải thích kết quả.

Tổ 1 có 4 bạn nam và 3 bạn nữ. Lớp trưởng chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 bạn trong tổ để trực nhật (mỗi bạn có cùng cơ hội được chọn, không chọn lại).
Nhiệm vụ nhóm đôi: (1) Xác định phép thử, không gian mẫu và cách đếm. (2) Tính xác suất có ít nhất một bạn nữ được chọn. (3) Nêu một lí do vì sao kết quả là giá trị lí thuyết và có thể khác với tần suất khi lặp lại thí nghiệm vài lần.
GV yêu cầu HS dùng máy tính cầm tay để kiểm tra $C_7^2$.

Lời giải dự kiến:

• Phép thử: chọn 2 bạn từ 7 bạn phân biệt, không xét thứ tự; $\Omega$ có $C_7^2=21$ kết quả.
• Biến cố A: có ít nhất một bạn nữ. Biến cố đối: cả hai bạn đều là nam, có $C_4^2=6$ cách.
• $P(A)=1-\dfrac{6}{21}=\dfrac{15}{21}=\dfrac{5}{7}$.
• Giải thích: $\dfrac{5}{7}$ là giá trị lí thuyết theo định nghĩa cổ điển, với giả thiết các bạn có cùng cơ hội được chọn. Khi lặp lại việc chọn nhiều lần, tần suất quan sát có thể dao động quanh giá trị này nhưng không nhất thiết bằng đúng $\dfrac{5}{7}$ trong vài lần thử.