Giáo án Bài 26. Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Huy động kinh nghiệm về phép thử ngẫu nhiên, nhận ra cần liệt kê đủ các kết quả có thể và so sánh khả năng xuất hiện của các kết quả, từ đó xác định nhiệm vụ học tập của bài.

GV tung một xúc xắc cân đối 6 mặt. HS dự đoán nhanh: “Mặt nào có khả năng xuất hiện nhiều nhất?”, “Khả năng xuất hiện mặt 6 và khả năng xuất hiện mặt chẵn so với nhau thế nào?”. Sau đó, cả lớp liệt kê tất cả kết quả có thể của lần gieo, ghi ra tập $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$. Cả lớp trả lời câu hỏi: “Nếu chỉ quan tâm đến số chẵn thì có bao nhiêu kết quả thuận lợi?”

• Tập hợp các kết quả có thể: $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$, có 6 phần tử.
• Số kết quả thuận lợi cho “số chẵn” là 3 (các mặt 2, 4, 6).
• Kết luận sơ bộ của lớp: Khả năng xuất hiện mặt 6 và khả năng xuất hiện mặt 1 bằng nhau vì xúc xắc cân đối; nhiệm vụ của bài là định lượng khả năng này bằng một con số.

Nêu được khái niệm không gian mẫu, biến cố, biến cố chắc chắn và biến cố bất khả; liệt kê được không gian mẫu của phép tung hai đồng xu.

HS hoạt động nhóm 4 người theo kỹ thuật khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1: (1) liệt kê Ω khi gieo một xúc xắc; (2) liệt kê Ω khi tung hai đồng xu cân đối, phân biệt thứ tự; (3) xác định biến cố “đúng một N” và nhận xét hai kết quả NS, SN có được gộp thành một kết quả không; (4) nêu ví dụ biến cố chắc chắn và biến cố bất khả trong phép gieo xúc xắc. Sau đó GV dẫn dắt và chốt khái niệm trên bảng.

• Ω khi gieo xúc xắc: $\{1;2;3;4;5;6\}$.
• Ω khi tung hai đồng xu: $\{NN; NS; SN; SS\}$, gồm 4 kết quả.
• Biến cố “đúng một N”: $\{NS; SN\}$.
• NS và SN là hai kết quả khác thứ tự, không gộp thành một kết quả; vẫn giữ mẫu gồm 4 kết quả đều nhau về khả năng.
• Biến cố chắc chắn là Ω (ví dụ: “số chấm trên mặt xúc xắc nhỏ hơn 7”); biến cố bất khả là ∅ (ví dụ: “số chấm bằng 7”).
• Kiến thức rút ra: Biến cố A là một tập con của không gian mẫu Ω.

Giải thích được điều kiện áp dụng định nghĩa cổ điển; tính được $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ và $P(\bar{A})=1-P(A)$; nhận ra không được tự coi các nhãn tùy ý là đồng khả năng.

HS làm việc theo nhóm cặp đôi (kỹ thuật mảnh ghép với hai nhóm chuyên gia: nhóm A tính xác suất xúc xắc, nhóm B tính xác suất hai đồng xu) rồi hoàn thành Phiếu học tập số 2. Phiếu gồm: (1) tính $P(A)$ với A là số chẵn khi gieo xúc xắc cân đối; (2) tính $P(\bar{A})$ và kiểm tra $P(A)+P(\bar{A})=1$; (3) tính xác suất “đúng một N” khi tung hai đồng xu cân đối độc lập; (4) xét hai nhãn “được 6” và “không 6”: có phải mỗi nhãn có xác suất $\dfrac{1}{2}$ không? Vì sao?

• Với A là số chẵn: $|A|=3$, $|\Omega|=6$, $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
• Biến cố đối $\bar{A}=\{1;3;5\}$, $P(\bar{A})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$; $P(A)+P(\bar{A})=1$.
• Biến cố “đúng một N” có $P=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
• Với xúc xắc cân đối: “được 6” có $P=\dfrac{1}{6}$, “không 6” có $P=\dfrac{5}{6}$; không phải mỗi nhãn $\dfrac{1}{2}$ vì “không 6” gộp 5 mặt và hai nhãn không đồng khả năng.
• Kết luận: Định nghĩa cổ điển $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ chỉ áp dụng khi Ω hữu hạn và các kết quả đồng khả năng; luôn có $0\le P(A)\le 1$.

Vận dụng định nghĩa cổ điển và biến cố đối để giải bài tập trắc nghiệm, bài tập tự luận; giải thích lời giải, đối chiếu điều kiện và đánh giá giới hạn kết quả.

Phần A (trắc nghiệm nhanh, cả lớp): GV đưa các câu 1, 2, 3, 4, 5, 6 của bài tập, HS giơ thẻ hoặc viết đáp án ra bảng con và giải thích ngắn.
Phần B (nhóm 4 người, trạm): các nhóm làm bài 7 và bài 8; sau đó dùng học liệu số NeoEdu (phần bài tập tương tác) để kiểm tra nhanh đáp án trắc nghiệm.
Câu hỏi GV đặt: “Vì sao bài 4 là sai?”, “Vì sao không được lấy mỗi màu $\dfrac{1}{2}$ ở bài 8?”, “Kết quả trong bài 8 có giới hạn gì?”

Đề và đáp án:

• Câu 1: Đáp án B (Ω hữu hạn, các kết quả đồng khả năng).
• Câu 2: 3 kết quả thuận lợi (2, 4, 6).
• Câu 3: Đáp án B, $P(\bar{A})=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$.
• Câu 4: Sai; nhãn “không 6” gộp 5 mặt, $P=\dfrac{5}{6}$.
• Câu 5: 4 chuỗi mặt NN, NS, SN, SS, đồng khả năng.
• Câu 6: Đáp án A, $P(\varnothing)=0$.
• Bài 7: $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$, $A=\{3;6\}$, $B=\{5;6\}$, $A\cap B=\{6\}$; $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$; $\bar{A}=\{1;2;4;5\}$, $P(\bar{A})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Thang gợi ý: 0,3 điểm các tập hợp; 0,25 điểm giao; 0,25 điểm biến cố đối; 0,2 điểm xác suất và giả thiết. Chấp nhận mọi cách trình bày đúng tương đương.
• Bài 8: Hai nhãn đỏ, xanh không đồng khả năng vì diện tích góc khác nhau; với giả thiết góc dừng đều, $P(\text{đỏ})=\dfrac{3}{4}$, $P(\text{xanh})=\dfrac{1}{4}$. Không áp dụng tỉ số “1 màu trên 2 màu”. Thiếu giả thiết góc dừng đều thì không khẳng định được xác suất. Thang gợi ý: 0,4 điểm nêu không đồng khả năng; 0,35 điểm tỉ lệ và giả thiết; 0,25 điểm nêu giới hạn kết quả.

Vận dụng định nghĩa cổ điển và biến cố đối để phân tích tính công bằng của một trò chơi thực tế; mô hình hoá vòng quay và đánh giá giới hạn của kết quả.

Nhóm thiết kế một vòng quay gồm các vùng màu có số góc khác nhau (ví dụ: vùng đỏ 270°, vùng xanh 90°) và giả thiết kim dừng đều. Nhóm trả lời: (1) Xác suất kim dừng ở vùng đỏ là bao nhiêu? (2) Gọi A là biến cố “kim dừng ở vùng xanh”, tính $P(\bar{A})$. (3) Trò chơi có công bằng nếu hai màu có xác suất bằng nhau không? Nếu muốn công bằng, cần chia góc thế nào? (4) Nêu một giới hạn của mô hình này trong thực tế.

• Vùng đỏ 270° chiếm $\dfrac{270}{360}=\dfrac{3}{4}$ diện tích, nên $P(\text{đỏ})=\dfrac{3}{4}$ với giả thiết kim dừng đều.
• $P(A)=\dfrac{1}{4}$, $P(\bar{A})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
• Trò chỉ công bằng khi $P(\text{đỏ})=P(\text{xanh})=\dfrac{1}{2}$, tức chia đều 180° cho mỗi màu.
• Giới hạn: mô hình giả định kim dừng đều và vòng quay không lệch; trên thực tế cần thử nghiệm nhiều lần để kiểm chứng.
  Sản phẩm: một phiếu thiết kế trò chơi ngắn có các phép tính trên.