Giáo án Bài tập cuối chương 8

Nhắc lại được giai thừa, chỉnh hợp và tổ hợp; biết chọn đúng công thức cho tình huống chọn không phân vai.

HS trả lời nhanh 4 câu hỏi GV chiếu lên màn hình, làm việc cá nhân trong 2 phút rồi trao đổi cặp đôi:

• Câu 1: $5!$ bằng bao nhiêu?
• Câu 2: $C_5^2$ bằng bao nhiêu?
• Câu 3: $A_5^2$ bằng bao nhiêu? Vì sao hai kết quả này khác nhau?
• Câu 4: Chọn 3 người trong 8 người, không phân vai, dùng công thức nào trong các phương án A. $A_8^3$; B. $C_8^3$; C. $8^3$; D. $8!$?

Kết quả dự kiến:

• $5!=5\times4\times3\times2\times1=120$.
• $C_5^2=\dfrac{5\times4}{2}=10$.
• $A_5^2=5\times4=20$. Khác nhau vì $A_5^2$ có xét thứ tự (trưởng, phó), còn $C_5^2$ thì không.
• Chọn không phân vai, không xét thứ tự nên dùng $C_8^3$, đáp án B. $C_8^3=\dfrac{8\times7\times6}{6}=56$.

Phân biệt được khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân; nêu được điều kiện để cộng các trường hợp không bị đếm lặp; nhận biết lỗi đếm lặp và lỗi số đầu bằng 0.

HS làm việc nhóm 4 theo kỹ thuật khăn trải bàn. Mỗi nhóm hoàn thành Phiếu học tập số 1 trên khăn trải bàn, sau đó đối chiếu với nội dung ôn tập trong SGK. GV đặt câu hỏi dẫn dắt:

• Khi nào các trường hợp được cộng lại với nhau?
• Khi nào các giai đoạn được nhân với nhau?
• Với bài toán 3 chữ số lập từ $\{0,1,2,3,4\}$, chữ số đầu có được chọn là 0 không?
• Khi chọn có lặp, công thức nào được dùng?

Kiến thức HS rút ra:

• Quy tắc cộng: nếu các trường hợp rời nhau (không trùng nhau) và mỗi cách thuộc đúng một trường hợp thì số cách bằng tổng số cách của từng trường hợp. Nếu các trường hợp chồng lấn thì phải điều chỉnh, tránh đếm lặp.
• Quy tắc nhân: nếu công việc gồm các giai đoạn liên tiếp thì số cách bằng tích số cách của từng giai đoạn.
• Chỉnh hợp: $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$, chọn có thứ tự và không lặp.
• Tổ hợp: $C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$, chọn không thứ tự và không lặp.
• Chọn có lặp với $n$ phần tử, mỗi lần chọn $k$ phần tử: không dùng $C_n^k$ mà dùng quy tắc nhân.
• Số có 3 chữ số: chữ số đầu khác 0, nên không được tính $5\times4\times3$ với $\{0,1,2,3,4\}$.

Vận dụng được công thức nhị thức Newton để khai triển $(x-2)^4$; xác định đúng hệ số của từng luỹ thừa của $x$, giữ đúng dấu; tính được tổng hệ số của đa thức.

GV yêu cầu HS khai triển $(x-2)^4$ theo công thức $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$ với $a=x$, $b=-2$. Sau đó HS trả lời:

• Hệ số của $x^3$ là bao nhiêu? Hệ số của $x^2$ là bao nhiêu?
• Tổng các hệ số của đa thức $P(x)=(x-2)^4$ bằng bao nhiêu? Tính bằng cách nào?
• Phát biểu “tổng hệ số của $(x-2)^4$ là 16 vì hằng số là 16” đúng hay sai?

Kết quả:

• $(x-2)^4=x^4-8x^3+24x^2-32x+16$.
• Hệ số của $x^3$: $C_4^1\cdot(-2)=-8$.
• Hệ số của $x^2$: $C_4^2\cdot(-2)^2=6\cdot4=24$.
• Tổng hệ số: $P(1)=(1-2)^4=1$.
• Hằng số tự do: $P(0)=16$, khác với tổng hệ số.
• Kết luận: phát biểu “tổng hệ số là 16” là sai, vì 16 là hệ số tự do chứ không phải tổng các hệ số. Tổng các hệ số bằng $P(1)=1$.

Vận dụng được quy tắc nhân, tổ hợp và khai triển nhị thức để giải các bài tập trắc nghiệm và tính toán.

HS làm việc cặp đôi với Phiếu học tập số 2, phần A, gồm các bài 4 đến 8 của đề bài tập cuối chương:

• Bài 4: Chọn ban 3 người trong 8 người, không phân vai, dùng công thức nào? A. $A_8^3$; B. $C_8^3$; C. $8^3$; D. $8!$.
• Bài 5: Tính $C_8^3$.
• Bài 6: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ $\{0,1,2,3,4\}$? A. 60; B. 48; C. 125; D. 64.
• Bài 7: Tìm hệ số của $x^3$ trong $(x-2)^4$.
• Bài 8: Tìm hệ số của $x^2$ trong $(x-2)^4$.

Đáp án và lời giải:

• Bài 4: Đáp án B, vì chọn không thứ tự, không lặp.
• Bài 5: $C_8^3=\dfrac{8\times7\times6}{6}=56$.
• Bài 6: Đáp án B, $4\times4\times3=48$. Chữ số đầu có 4 cách (1, 2, 3, 4), chữ số thứ hai có 4 cách, chữ số thứ ba có 3 cách. Phương án A ($5\times4\times3=60$) sai vì tính cả trường hợp chữ số đầu bằng 0.
• Bài 7: Hệ số của $x^3$ là $C_4^1\cdot(-2)=-8$.
• Bài 8: Hệ số của $x^2$ là $C_4^2\cdot(-2)^2=24$.

Đánh giá được tính đúng sai của phát biểu toán học; giải thích được vì sao cộng các trường hợp cần rời nhau; đối chiếu kết quả với điều kiện bài toán.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2, phần B, gồm các bài 9 và 10 của đề bài tập cuối chương:

• Bài 9: Phát biểu “Tổng hệ số của $(x-2)^4$ là 16 vì hằng số là 16” đúng hay sai? Giải thích.
• Bài 10: Khi đếm bằng cách cộng hai trường hợp, cần tính chất gì? A. Có thể chồng lấn mà không cần điều chỉnh; B. Rời nhau, mỗi cách được phân loại đúng một lần; C. Mỗi cách phải thuộc cả hai trường hợp; D. Hai nhóm phải luôn có cùng số phần tử.

Đáp án và lời giải:

• Bài 9: Sai. Tổng hệ số là $P(1)=(1-2)^4=1$, khác với $16$. Số 16 là hằng số tự do, tức là $P(0)$.
• Bài 10: Đáp án B. Nếu hai trường hợp chồng lấn nhau thì phải trừ phần trùng, nếu không sẽ đếm lặp.
• Kiến thức chốt: muốn cộng hai trường hợp, các trường hợp phải rời nhau và mỗi cách thuộc đúng một trường hợp.

Mô hình hoá được tình huống thực tế bằng tổ hợp, chỉnh hợp và quy tắc nhân; đối chiếu kết quả với điều kiện bài toán và đánh giá tính hợp lý của kết quả.

Lớp có 8 học sinh tình nguyện. Nhóm làm việc cặp đôi hoặc nhóm 4 để giải ba câu sau:

• a) Chọn 3 bạn vào tổ trực nhật, không phân vai. Có bao nhiêu cách?
• b) Chọn 3 bạn giữ các vai trò trưởng ban, phó ban và thư ký. Có bao nhiêu cách?
• c) Mật khẩu gồm 3 chữ số khác nhau lấy từ $\{0,1,2,\ldots,9\}$, chữ số đầu tiên khác 0. Có bao nhiêu mật khẩu?
  Sau đó HS nêu lý do chọn công thức cho từng câu.

Kết quả dự kiến:

• a) Không phân vai, không thứ tự: $C_8^3=56$ cách.
• b) Có phân vai: $A_8^3=8\times7\times6=336$ cách.
• c) Chữ số đầu có 9 cách (1 đến 9), chữ số thứ hai có 9 cách (9 chữ số còn lại, kể cả 0), chữ số thứ ba có 8 cách: $9\times9\times8=648$ mật khẩu.
  Kiến thức HS rút ra: xác định đúng có thứ tự hay không, có lặp hay không, và điều kiện riêng của chữ số đầu để chọn đúng quy tắc đếm.