Giáo án Bài 25. Nhị thức Newton

Huy động kiến thức về hằng đẳng thức và tạo nhu cầu tìm công thức tổng quát cho $(a+b)^n$.

HS khai triển $(a+b)^2$ và $(a+b)^3$, quan sát lũy thừa của $a$, của $b$ và hệ số ở mỗi số hạng. Sau đó trả lời: (1) Khai triển $(a+b)^4$ có bao nhiêu số hạng? (2) Lũy thừa của $a$ thay đổi thế nào? (3) Các hệ số có thể lấy từ đâu mà không cần tính lại từng tích?

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ và $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
• Dự đoán: $(a+b)^4$ có $5$ số hạng, lũy thừa của $a$ giảm từ $4$ đến $0$, lũy thừa của $b$ tăng từ $0$ đến $4$, tổng số mũ của mỗi số hạng luôn bằng $4$.
• Hệ số có thể tìm theo dãy $1,\,2,\,1$ và $1,\,3,\,3,\,1$, nên có thể đoán dãy hệ số của $(a+b)^4$ từ dãy trước đó.

Hình thành công thức khai triển $(a+b)^n$, số hạng tổng quát và cách lập hàng hệ số của tam giác Pascal.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1 và xem ví dụ trên trang bài học NeoEdu. Nhiệm vụ: (1) Viết số hạng tổng quát của $(a+b)^n$ với $k$ bất kỳ. (2) Tính $C_4^k$ và $C_5^k$ với $k=0,1,\ldots,n$. (3) Lập hàng hệ số của tam giác Pascal từ hàng $n=0$ đến hàng $n=5$ theo quy tắc cộng hai số liền trên.

• Công thức nhị thức Newton: $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$, số hạng tổng quát là $C_n^k a^{n-k}b^k$.
• $C_4^k$: $1,\,4,\,6,\,4,\,1$; $C_5^k$: $1,\,5,\,10,\,10,\,5,\,1$.
• Tam giác Pascal: hàng $n=4$ là $1,4,6,4,1$; hàng $n=5$ là $1,5,10,10,5,1$; mỗi số (trừ số $1$ ở hai đầu) bằng tổng hai số đứng ngay trên nó.
• Kết luận: $(a+b)^4$ có $5$ số hạng, hệ số là $1,4,6,4,1$; $(a+b)^5$ có $6$ số hạng, hệ số là $1,5,10,10,5,1$.

Hiểu cách xác định dấu khi $b$ âm, phân biệt hệ số với số hạng chứa biến và tính tổng các hệ số.

Nhóm khai triển $(x+2)^4$ và $(1-x)^5$. Trả lời: (1) Hệ số của $x^2$ trong $(x+2)^4$ là bao nhiêu, vì sao phải chọn $k=2$? (2) Vì sao các số hạng của $(1-x)^5$ có dấu xen kẽ? (3) Tổng các hệ số của đa thức $P(x)$ bằng giá trị nào? Áp dụng với $(1-x)^5$ và $(x+1)^4$.

• $(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$. Hệ số của $x^2$ là $C_4^2\cdot 2^2=24$, chọn $k=2$ vì lũy thừa của $x$ là $4-k=2$.
• $(1-x)^5=1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5$; dấu xen kẽ vì $(-x)^k$ đổi dấu khi $k$ lẻ.
• Tổng các hệ số của $P(x)$ bằng $P(1)$: tổng hệ số của $(1-x)^5$ là $(1-1)^5=0$; của $(x+1)^4$ là $(1+1)^4=16$.
• Lưu ý: không lấy tổng giá trị tuyệt đối của các hệ số khi có dấu âm.

Củng cố khai triển nhị thức, tìm hệ số và số hạng chứa biến, đối chiếu điều kiện và đánh giá kết quả.

Nhóm 4 người làm Phiếu học tập số 2 theo kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi người làm một bài vào ô của mình, sau đó so sánh và thống nhất đáp án chung. Các bài: (1) Hệ số $x^2$ trong $(x+2)^4$. (2) Hệ số $x^3$ trong $(1-x)^5$. (3) Dãy hệ số của $(a+b)^4$ là gì? (4) Khai triển $(1-x)^5$ có mọi hệ số dương không? (5) Số hạng chứa $x^3$ trong $(2x-1)^5$. (6) Tổng hệ số của $(x+1)^4$. (7) Khai triển $(2x-1)^5$ và kiểm tra hệ số đầu, hằng số, tổng các hệ số. (8) Tìm hệ số $x^2$ của $(1+3x)^4$ và tổng các hệ số; giải thích vì sao không nhầm số hạng với hệ số.

• (1) $24$ ($C_4^2\cdot 2^2=6\cdot 4=24$).
• (2) $-10$ ($C_5^3(-1)^3=-10$).
• (3) Đáp án A: $1,4,6,4,1$.
• (4) Sai: $(-x)^k$ cho dấu xen kẽ, ví dụ $-5x$, $-x^5$.
• (5) Đáp án C: $80x^3$ ($k=2$, $C_5^2\cdot(2x)^3\cdot(-1)^2=10\cdot 8x^3=80x^3$).
• (6) $16$ (thay $x=1$: $(1+1)^4=16$).
• (7) $32x^5-80x^4+80x^3-40x^2+10x-1$; hệ số đầu $2^5=32$, hằng số $(-1)^5=-1$; tổng hệ số $32-80+80-40+10-1=1=(2-1)^5$.
• (8) Chọn $k=2$: số hạng $C_4^2\cdot 1^2\cdot(3x)^2=54x^2$, hệ số $54$; tổng hệ số $P(1)=(1+3)^4=256$. Lưu ý: đề hỏi hệ số nên đáp số là $54$, số hạng là $54x^2$.

Vận dụng khai triển nhị thức để tính gần đúng một lũy thừa trong bài toán thực tế và đánh giá sai số.

Một người gửi $100$ triệu đồng với lãi suất $1\%$ mỗi năm, lãi nhập gốc. Số tiền sau $5$ năm là $100\cdot(1{,}01)^5$ triệu đồng. HS khai triển $(1+0{,}01)^5$ và lấy ba số hạng đầu để tính gần đúng; sau đó đối chiếu với máy tính cầm tay và nhận xét sai số.

• $(1+0{,}01)^5=1+5\cdot 0{,}01+10\cdot 0{,}01^2+10\cdot 0{,}01^3+\cdots$.
• Ba số hạng đầu: $1+0{,}05+0{,}001=1{,}051$.
• Máy tính: $(1{,}01)^5\approx 1{,}05101$; sai số khoảng $0{,}00001$, rất nhỏ.
• Số tiền sau $5$ năm xấp xỉ $100\cdot 1{,}051=105{,}1$ triệu đồng.
• Bài về nhà: thay lãi suất $2\%$ và $5$ năm để tính gần đúng bằng khai triển, so sánh với máy tính.