Giáo án Bài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

HS nhận biết sự khác nhau giữa bài toán có xét thứ tự và không xét thứ tự, từ đó xác định vấn đề cần học.

GV nêu tình huống: Có 4 bạn An, Bình, Cường, Dũng.
(1) Xếp 4 bạn vào 4 ghế thẳng hàng thì có bao nhiêu cách?
(2) Chọn 2 bạn trong 4 bạn để trực nhật thì có bao nhiêu cách?
GV hỏi: Hai bài toán khác nhau ở điểm nào? Khi nào thứ tự của các bạn có ý nghĩa?

Dự kiến HS trả lời: (1) có $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ cách; (2) liệt kê được 6 cách: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Điểm khác: bài (1) có thứ tự sắp xếp, bài (2) chỉ quan tâm đến tập hợp được chọn. Vấn đề bài học: cần công thức đếm cho việc chọn và sắp xếp các phần tử, phân biệt khi nào có xét thứ tự.

HS nêu được định nghĩa hoán vị, viết được công thức $P_n=n!$ và giải thích quy ước $0!=1$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, phần A.
Câu 1: Xếp 3 bạn A, B, C thành một hàng ngang. Liệt kê tất cả các cách.
Câu 2: Vị trí đầu có mấy lựa chọn, vị trí thứ hai còn mấy lựa chọn, vị trí thứ ba còn mấy? Từ đó suy ra số cách xếp.
Câu 3: Khái quát: $n$ sự vật phân biệt xếp theo thứ tự có bao nhiêu cách? Ký hiệu là $P_n$.
Câu 4: Có 1 cách xếp 0 sự vật. Vì sao quy ước $0!=1$ là hợp lí?

Dự kiến: Câu 1: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (6 cách). Câu 2: $3\cdot2\cdot1=6$. Câu 3: $P_n=n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot1=n!$. Câu 4: không có vị trí nào để xếp nên chỉ có một cách “không làm gì”; đặt $0!=1$ để công thức đúng cho mọi $n\ge 0$.
Kiến thức HS rút ra: Hoán vị của $n$ phần tử phân biệt là một cách sắp xếp theo thứ tự; số hoán vị là $P_n=n!$; quy ước $0!=1$.

HS nêu được định nghĩa chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử và viết đúng công thức $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$.

HS làm Phiếu học tập số 1, phần B.
Câu 5: Trong nhóm 6 người, chọn một trưởng nhóm và một phó nhóm (hai vai khác nhau, một người không giữ hai vai). Có bao nhiêu cách?
Câu 6: Nêu cách đếm theo hai bước và viết dưới dạng tích.
Câu 7: Khái quát: chọn và sắp xếp $k$ phần tử từ $n$ phần tử phân biệt; ký hiệu $A_n^k$. Viết công thức $A_n^k$ bằng $n!$ và $(n-k)!$.
Câu 8: Kiểm tra công thức với $A_6^2$.

Dự kiến: Câu 5: $6\cdot5=30$ cách. Câu 6: chọn trưởng có 6 cách, sau đó chọn phó từ 5 người còn lại có 5 cách, tích $6\cdot5=30$. Câu 7: $A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ với $0\le k\le n$. Câu 8: $A_6^2=\dfrac{6!}{4!}=\dfrac{720}{24}=30$, khớp với kết quả câu 5.
Kiến thức HS rút ra: Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ là cách chọn và sắp thứ tự $k$ phần tử khác nhau; $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$; áp dụng khi các vai trò (vị trí) phân biệt.

HS nêu được định nghĩa tổ hợp, viết công thức $C_n^k$, giải thích được $A_n^k=k!\,C_n^k$ và các tính chất $C_n^0=C_n^n=1$, $C_n^k=C_n^{n-k}$.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, phần C; mỗi nhóm dùng bảng nhóm để vẽ sơ đồ so sánh ba khái niệm.
Câu 9: Chọn 2 bạn từ 6 bạn để làm nhóm trực nhật, không phân vai. Có bao nhiêu cách? Vì sao đổi thứ tự hai người không tạo cách mới?
Câu 10: Mỗi nhóm 2 người trong câu 9 có bao nhiêu cách phân hai vai trưởng/phó? Từ đó so sánh $A_6^2$ và $C_6^2$.
Câu 11: Khái quát: $C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ và $A_n^k=k!\,C_n^k$.
Câu 12: Tính $C_5^0$, $C_5^5$, và so sánh $C_6^2$ với $C_6^4$.

Dự kiến: Câu 9: $C_6^2=\dfrac{6!}{2!\,4!}=15$ cách; đổi thứ tự hai người vẫn cho cùng một tập hợp nên không tạo cách mới. Câu 10: mỗi nhóm có $2!=2$ cách phân vai, do đó $A_6^2=2\cdot C_6^2$, tức $30=2\cdot15$. Câu 11: từ $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ suy ra $C_n^k=\dfrac{A_n^k}{k!}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Câu 12: $C_5^0=C_5^5=1$; $C_6^2=C_6^4=15$ vì $C_n^k=C_n^{n-k}$.
Kiến thức HS rút ra: Tổ hợp chập $k$ của $n$ là tập con gồm $k$ phần tử, không xét thứ tự; $A_n^k=k!\,C_n^k$; $C_n^k=C_n^{n-k}$.

HS vận dụng đúng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và các tính chất trong các câu hỏi ngắn; tự kiểm tra bằng bài tập tương tác NeoEdu.

HS làm nhanh các câu 1–6 (cá nhân 4 phút, sau đó đối chiếu nhóm và làm trên trang bài tập tương tác NeoEdu nếu có thiết bị).
Câu 1: $4!$ bằng bao nhiêu?
Câu 2: $C_6^2$ bằng bao nhiêu?
Câu 3: Chọn trưởng và phó khác nhau trong 6 người dùng số nào? A. $C_6^2=15$; B. $A_6^2=30$; C. $6^2=36$; D. $6!=720$.
Câu 4: Chọn một cặp không phân vai thì đổi thứ tự hai người có tạo lựa chọn mới không? Đúng hay sai?
Câu 5: $C_5^0$ bằng gì? A. 0; B. 1; C. 5; D. Không xác định.
Câu 6: Hệ thức đúng là: A. $A_n^k=C_n^k$; B. $A_n^k=k!\,C_n^k$; C. $C_n^k=k!\,A_n^k$; D. $A_n^k=n\,C_n^k$ luôn đúng.

Đáp án: Câu 1: $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$. Câu 2: $C_6^2=\dfrac{6\cdot5}{2}=15$. Câu 3: Đáp án B, vì vai trò khác nhau và hai vai không cùng một người nên $6\cdot5=30$. Câu 4: Sai, tổ hợp không xét thứ tự nên hai danh sách cùng là một tập chọn. Câu 5: Đáp án B, vì có đúng một tập con rỗng và $0!=1$. Câu 6: Đáp án B, vì mỗi tập $k$ phần tử có $k!$ cách sắp thứ tự.

HS giải bài toán có điều kiện ràng buộc, đối chiếu điều kiện và kiểm tra kết quả bằng hai cách đếm.

HS làm Phiếu học tập số 2 theo nhóm 4 người.
Câu 7: Có 7 bạn, chọn 3 người làm ban không phân vai, rồi chọn 3 vai khác nhau (trưởng, phó, thư kí) trong ban đó. Tính riêng số cách chọn ban và số cách chọn ba vai. Giải thích quan hệ giữa hai số.
Câu 8: Sắp 5 quyển sách phân biệt lên một hàng thẳng, hai quyển A và B phải đứng cạnh nhau. Đếm đủ các cách.

Đáp án câu 7: Số cách chọn ban: $C_7^3=\dfrac{7\cdot6\cdot5}{6}=35$. Số cách chọn ba vai: $A_7^3=7\cdot6\cdot5=210$. Quan hệ: mỗi ban có $3!=6$ cách phân vai, nên $210=6\cdot35$, tức $A_7^3=3!\,C_7^3$. (Không dùng $7^3$ vì một người không giữ nhiều vai.)
Đáp án câu 8: Gộp AB thành một khối; cùng 3 quyển khác có 4 đối tượng, sắp có $4!=24$ cách; trong khối AB hoặc BA, có 2 cách. Tổng $24\cdot2=48$ cách. Gộp là một song ánh nên không nhân hay chia thêm.
Kiến thức HS rút ra: Phân tích điều kiện, tách bài toán thành hai bước (chọn rồi sắp, hoặc gộp khối rồi sắp).

HS mô hình hoá tình huống thực tế về bầu chọn ban cán sự, chọn đúng công thức và đánh giá tính hợp lí của kết quả.

Tình huống: Lớp có 10 học sinh. Cần chọn một lớp trưởng và một lớp phó (hai vai khác nhau), cùng 3 ủy viên không phân vai từ 8 bạn còn lại.
Nhiệm vụ: (1) Số cách chọn lớp trưởng và lớp phó là bao nhiêu? (2) Số cách chọn 3 ủy viên là bao nhiêu? (3) Số cách lập ban cán sự là bao nhiêu? Nêu lí do nhân hai kết quả. (4) Nếu 3 ủy viên được phân ba vai khác nhau (thư kí, thủ quỹ, ủy viên văn nghệ) thì số cách lập ban cán sự là bao nhiêu?

Dự kiến: (1) $A_{10}^2=10\cdot9=90$ cách. (2) $C_8^3=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{6}=56$ cách. (3) $90\cdot56=5040$ cách, vì hai bước độc lập: chọn vai rồi chọn ủy viên từ 8 bạn còn lại. (4) Ba vai khác nhau từ 8 bạn có $A_8^3=8\cdot7\cdot6=336$ cách; số cách lập ban là $90\cdot336=30240$ cách. Kết quả lớn hơn ở (3) vì đề bài có thêm yêu cầu phân vai, và đối chiếu được với $A_8^3=3!\,C_8^3=6\cdot56=336$.
Kiến thức HS rút ra: Mô hình hoá bài toán thực tế, chọn công thức phù hợp (tổ hợp cho nhóm không phân vai, chỉnh hợp cho vai khác nhau) và kiểm tra tính hợp lí của kết quả.