Giáo án Bài 23. Quy tắc đếm

Huy động kiến thức nền về đếm số cách chọn; dẫn dắt HS nhận ra cần có quy tắc để đếm mà không phải liệt kê từng trường hợp.

GV nêu tình huống: Bạn An có 3 chiếc áo khác màu và 4 chiếc quần khác kiểu. Mỗi bộ gồm một áo và một quần. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn một bộ trang phục?
GV hỏi tiếp: Nếu An có thêm 2 đôi giày, có bao nhiêu cách chọn một bộ gồm áo, quần, giày?
HS suy nghĩ cá nhân khoảng 2 phút, sau đó chia sẻ cách đếm của mình.

HS nêu được: 3 áo và 4 quần, mỗi bộ chọn một áo và một quần, nên có $3\times 4=12$ bộ. Với thêm 2 đôi giày: $3\times 4\times 2=24$ cách. Từ đó HS nhận thấy cách đếm có thể chia thành các bước và cần một quy tắc chung. Ghi nhận được vấn đề bài học: làm thế nào để đếm số cách khi có nhiều bước hoặc nhiều trường hợp.

HS nêu được quy tắc cộng, hiểu điều kiện các trường hợp loại trừ nhau và giải thích được vì sao phải trừ phần giao khi các nhóm lựa chọn có phần chung.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Các câu hỏi chính:

1. Bạn Lan có thể đi đến trường bằng một trong 2 tuyến xe buýt hoặc 3 tuyến tàu điện (các tuyến phân biệt nhau). Có bao nhiêu cách chọn một tuyến?
2. Vì sao có thể cộng $2+3$? Mỗi cách chọn thuộc đúng một trường hợp nào?
3. Nếu một trạm vừa thuộc tuyến xe buýt vừa thuộc tuyến tàu điện thì khi đếm có gì khác không?
4. GV đặt câu hỏi kiểm tra: Nếu hai nhóm có phần giao, khi cộng số cách phải làm gì?

Kết quả: Số lựa chọn là $2+3=5$ cách, vì hai nhóm (xe buýt và tàu điện) loại trừ nhau, mỗi cách thuộc đúng một nhóm.
Kiến thức rút ra: Quy tắc cộng: Nếu một công việc có các phương án thực hiện loại trừ nhau, phương án thứ nhất có $m$ cách, phương án thứ hai có $n$ cách, thì số cách thực hiện công việc là $m+n$. Với nhiều trường hợp loại trừ nhau, số cách là tổng số cách của từng trường hợp.
Lưu ý: Khi các nhóm có phần giao, không được cộng thẳng; phải trừ phần đếm lặp hoặc chia lại thành các trường hợp rời nhau.

HS nêu được quy tắc nhân cho quá trình nhiều bước; biết kiểm tra số lựa chọn ở mỗi bước có phụ thuộc vào các bước trước hay không; sử dụng sơ đồ cây để đối chiếu.

HS làm việc theo nhóm 4 người với Phiếu học tập số 2. Các câu hỏi chính:

1. Lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số {0; 1; 2; 3}. Hàng trăm có bao nhiêu cách chọn? Hàng chục và hàng đơn vị thì sao? Vì sao hàng trăm không được chọn 0?
2. Vẽ sơ đồ cây hoặc liệt kê để kiểm tra kết quả.
3. Nếu cho phép các chữ số lặp lại, số các số có 3 chữ số là bao nhiêu?
4. Một mã gồm 3 kí tự, cho phép chữ số đầu bằng 0 và cho phép lặp, có bao nhiêu mã? Đầu 0 có làm mã không hợp lệ không?
5. Đối chiếu: Số lựa chọn ở bước sau có thay đổi tùy theo bước trước không?

Kết quả: Không lặp: hàng trăm 3 cách (1, 2, 3); hàng chục 3 cách (còn lại 3 chữ số); hàng đơn vị 2 cách. Số các số là $3\times 3\times 2=18$.
Có lặp: $3\times 4\times 4=48$.
Mã 3 kí tự, đầu 0 được phép và lặp: $4\times 4\times 4=64$.
Kiến thức rút ra: Quy tắc nhân: Nếu một công việc gồm hai bước liên tiếp, bước thứ nhất có $m$ cách, với mỗi cách của bước thứ nhất, bước thứ hai có $n$ cách, thì công việc có $m\cdot n$ cách. Với nhiều bước, nhân số cách của từng bước.
Lưu ý: Phải kiểm tra số lựa chọn của mỗi bước có thay đổi theo nhánh hay không (ví dụ, hàng trăm không chọn 0 nên số lựa chọn ở các bước sau phụ thuộc vào cách chọn trước đó). Đầu 0 không làm mã không hợp lệ khi đề bài là mã kí tự; chỉ là số tự nhiên thì chữ số hàng trăm khác 0.

HS vận dụng linh hoạt quy tắc cộng và quy tắc nhân để giải các bài tập có điều kiện; giải thích lời giải và đối chiếu điều kiện.

GV tổ chức hoạt động theo cặp đôi, kết hợp chia sẻ cả lớp. Bài tập chính (GV chiếu đề):

1. Có 3 áo và 4 quần, mỗi bộ gồm một áo và một quần. Có bao nhiêu bộ?
2. Chọn đúng một trong 2 tuyến xe hoặc 3 tuyến tàu phân biệt. Có bao nhiêu lựa chọn?
3. Số có 3 chữ số khác nhau lập từ {0; 1; 2; 3} có bao nhiêu? A. 24; B. 18; C. 64; D. 48.
4. Nhận định đúng hay sai: “Một mã kí tự bắt đầu bằng 0 luôn không hợp lệ.”
5. Nếu hai nhóm chọn có phần giao, khi cộng số cách phải làm gì? A. Luôn cộng thẳng; B. Kiểm tra và trừ phần đếm lặp hoặc chia thành các trường hợp rời nhau; C. Luôn nhân; D. Luôn bỏ một nhóm.
6. Chọn một mẫu trong 4 mẫu, rồi chọn một màu trong 3 màu tương ứng. Tổng số cách là bao nhiêu?
7. Đếm số có 2 chữ số từ {0; 1; 2; 3; 4}: không lặp và có lặp. Giải thích về chữ số 0.
8. Một nhóm có 8 người biết tiếng Anh, 6 người biết tiếng Pháp, 3 người biết cả hai. Đếm số cách chọn một người biết ít nhất một thứ tiếng; đếm số người chỉ biết đúng một thứ tiếng; đối chiếu quy tắc cộng.

Đáp án và lời giải:

1. $3\times 4=12$ bộ.
2. $2+3=5$ lựa chọn.
3. Đáp án B (18): hàng trăm 3 cách, hàng chục 3 cách, hàng đơn vị 2 cách, $3\times 3\times 2=18$.
4. Sai: Phải phân biệt mã kí tự (đầu 0 hợp lệ) với số tự nhiên có số chữ số xác định (chữ số hàng trăm khác 0).
5. Đáp án B: Không đếm cùng một lựa chọn hai lần; phải trừ phần giao hoặc chia thành các trường hợp rời nhau.
6. $4\times 3=12$ cách.
7. Không lặp: hàng chục 4 cách (1 đến 4), hàng đơn vị 4 cách (còn lại, kể cả 0): $4\times 4=16$. Có lặp: hàng chục 4 cách, hàng đơn vị 5 cách: $4\times 5=20$. Chữ số 0 không được đứng ở hàng chục, nên hàng chục chỉ có 4 cách; ở hàng đơn vị, 0 vẫn được chọn.
8. Hợp: $8+6-3=11$ người. Chỉ tiếng Anh: $8-3=5$; chỉ tiếng Pháp: $6-3=3$; đúng một thứ tiếng: $5+3=8$. Đếm theo các miền rời nhau: $5+3+3=11$, đúng bằng kết quả hợp; không cộng $8+6=14$ vì phần giao bị đếm hai lần.

HS vận dụng quy tắc đếm vào tình huống thực tế: thiết kế mã (mã vé, mã khóa, mã sản phẩm), xác định điều kiện và đánh giá giới hạn của kết quả.

GV đưa tình huống: Trường cần cấp mã vé tham quan gồm 3 kí tự: kí tự đầu là một chữ số từ 0 đến 9, kí tự thứ hai và thứ ba là chữ số từ 0 đến 9. Mã được phép lặp.
Câu hỏi: (a) Có bao nhiêu mã khác nhau? (b) Nếu yêu cầu các chữ số trong mã phải khác nhau thì có bao nhiêu mã? (c) Kết quả ở câu (a) có hợp lý với thực tế nếu trường chỉ có 500 học sinh cần mã không? Giải thích.
Về nhà: Hoàn thiện câu (b) và xây dựng một tình huống thực tế khác có thể áp dụng quy tắc nhân.

(a) $10\times 10\times 10=1000$ mã.
(b) Chữ số đầu có 10 cách, chữ số thứ hai có 9 cách, chữ số thứ ba có 8 cách: $10\times 9\times 8=720$ mã.
(c) Số mã (1000) lớn hơn số học sinh (500), nên đủ dùng; kết quả hợp lý, vì số mã đủ để cấp cho mọi học sinh. HS giải thích được: mã không lặp (720) vẫn đủ cho 500 học sinh.
Kiến thức rút ra: Quy tắc nhân được dùng để tính số lựa chọn trong thiết kế mã; cần đối chiếu điều kiện (có lặp hay không) và kiểm tra giới hạn của kết quả với thực tế.