Giáo án Bài tập cuối chương 6

Ôn nhanh các kiến thức nền của chương: tập xác định, khái niệm hàm số, hoành độ đỉnh, phủ định mệnh đề; giúp HS xác định nhiệm vụ học tập của hai tiết ôn tập.

GV chiếu 5 câu hỏi trắc nghiệm nhanh. HS giơ bảng con hoặc thẻ đúng/sai.

• Câu 1: Hoành độ đỉnh của parabol $y=-x^2+4x+5$ bằng bao nhiêu?
• Câu 2: Với $f(x)=2x^2-3x+1$, giá trị $f(2)$ bằng bao nhiêu?
• Câu 3: Hai giá trị khác nhau của đối số có thể cho cùng một giá trị hàm số không?
• Câu 4: Phủ định của mệnh đề "$\forall x,\ f(x)>0$" là gì?
• Câu 5: $x^2-4<0$ có tập nghiệm là $(-2;2)$ đúng hay sai?
  GV yêu cầu HS nêu ngắn gọn lí do cho câu 3 và câu 4.

Đáp án ngắn gọn để GV và HS ghi nhận:

• Câu 1: $x=2$, vì $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$.
• Câu 2: $f(2)=2\cdot 4-3\cdot 2+1=3$.
• Câu 3: Đúng. Ví dụ $x=1$ và $x=-1$ đều cho $x^2=1$; điều không được phép là một đối số cho hai giá trị hàm khác nhau.
• Câu 4: "$\exists x,\ f(x)\le 0$", vì phủ định của $\forall$ là $\exists$ và phủ định của $>$ là $\le$.
• Câu 5: Đúng. Tập nghiệm là $(-2;2)$ vì hai nghiệm $\pm 2$ bị loại do dấu bất đẳng thức là nghiêm ngặt.
  HS ghi được mục tiêu của hai tiết học vào vở.

HS hệ thống hoá điều kiện xác định của hàm phân thức có căn, khái niệm hàm số và cách lập phủ định của mệnh đề có lượng từ; biết trình bày tập xác định bằng kí hiệu khoảng và hợp các tập hợp.

Chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm nhận một ô của khăn trải bàn gồm bốn nội dung: (1) Điều kiện xác định của căn và phân thức; (2) Khái niệm hàm số; (3) Phủ định của mệnh đề có lượng từ; (4) Ví dụ thử thách.
Nhiệm vụ chính, trình bày trong Phiếu học tập số 1:

• Tìm tập xác định của $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4}$ và viết bằng kí hiệu tập hợp.
• Giải thích vì sao $x=1$ thuộc tập xác định nhưng $x=4$ không thuộc.
• Trả lời: Hai đầu vào khác nhau có thể cho cùng một đầu ra không? Lấy ví dụ.
• Viết phủ định của mệnh đề "Với mọi $x$, $f(x)\ge 0$".

Kết quả nhóm cần đạt:

• Tập xác định: điều kiện $x-1\ge 0$ và $x-4\ne 0$, suy ra $D=[1;+\infty)\setminus\{4\}$. Đáp án trắc nghiệm đúng là B.
• Giải thích: $x=1$ làm căn bằng 0 nên hợp lệ; $x=4$ làm mẫu bằng 0 nên bị loại.
• Khái niệm hàm số: Đúng, ví dụ $y=x^2$ tại $x=1$ và $x=-1$ đều cho $y=1$; không vi phạm tính duy nhất của đầu ra.
• Phủ định: "Tồn tại $x$ sao cho $f(x)<0$" (phủ định của $\forall$ là $\exists$; phủ định của $\ge$ là $<$).
  Kiến thức HS rút ra: Mỗi biến đổi có điều kiện; tập xác định phải loại cả điểm làm mẫu bằng 0 và điểm làm biểu thức dưới căn âm.

HS xác định được hoành độ đỉnh, giá trị lớn nhất của hàm bậc hai; giải được bất phương trình bậc hai bằng bảng xét dấu và biết lấy đúng các điểm biên.

Nhóm làm Phiếu học tập số 2 (phần hàm bậc hai) với hàm $P(x)=-x^2+4x+5$.

• Viết $P(x)$ dưới dạng $9-(x-2)^2$ và suy ra giá trị lớn nhất của $P(x)$ trên $\mathbb{R}$, đạt tại $x$ nào?
• Tìm hoành độ đỉnh của đồ thị $P(x)$.
• Giải bất phương trình $-x^2+4x+5\ge 0$ bằng bảng xét dấu. Vì sao hai đầu mút được lấy?
• Giải thích vì sao $P(x)$ không âm trên $[-1;5]$ nhưng không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$.

Kết quả cần đạt:

• $P(x)=9-(x-2)^2\le 9$, dấu bằng khi $x=2$. Vậy $\max P=9$ tại $x=2$.
• Hoành độ đỉnh: $x=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$.
• Nghiệm của $P(x)=0$ là $x=-1$ và $x=5$. Bảng xét dấu: $P(x)$ mang dấu âm khi $x<-1$ hoặc $x>5$, dương khi $-1<x<5$. Tập nghiệm của $P(x)\ge 0$ là $[-1;5]$; hai đầu mút được lấy vì bất đẳng thức không nghiêm ngặt và tại đó $P(x)=0$.
• Vì hệ số $a=-1<0$ nên parabol mở xuống, đồ thị không có điểm thấp nhất trên $\mathbb{R}$, trong khi trên đoạn $[-1;5]$ thì $P(x)\ge 0$ và bằng 0 tại hai biên.
  Kiến thức HS rút ra: Giá trị lớn nhất của hàm bậc hai phải xét đúng miền đã cho; biên nghiệm được lấy hay bỏ phụ thuộc dấu của bất đẳng thức.

HS giải được phương trình chứa căn bằng cách bình phương và biết đối chiếu nghiệm với điều kiện của vế không âm; hiểu lí do nghiệm phụ có thể xuất hiện.

HS làm việc theo cặp để giải phương trình $\sqrt{x+6}=x$.
Nhiệm vụ:

• Nêu điều kiện để phương trình có nghĩa và điều kiện để vế phải không âm.
• Bình phương hai vế và giải phương trình bậc hai thu được.
• Đối chiếu từng nghiệm với điều kiện, kết luận nghiệm.
• Giải thích vì sao nghiệm $x=-2$ bị loại.

Kết quả cần đạt:

• Điều kiện: $x+6\ge 0$ và $x\ge 0$, suy ra $x\ge 0$.
• Bình phương: $x+6=x^2$, tức $x^2-x-6=0$, có hai nghiệm $x=3$ và $x=-2$.
• Đối chiếu: $x=3$ thoả mãn $x\ge 0$, vì $\sqrt{9}=3$; $x=-2$ không thoả mãn $x\ge 0$, vì $\sqrt{4}=2\ne -2$.
  Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=3$.
  Kiến thức HS rút ra: Sau khi bình phương phải đối chiếu nghiệm với điều kiện của bài toán; nghiệm của phương trình hệ quả chưa chắc là nghiệm của phương trình gốc.

HS luyện tập các dạng bài trắc nghiệm và tự luận đã học, tự kiểm tra đáp án và sửa lỗi sai, phát triển tư duy lập luận và giao tiếp toán học.

Lớp chia thành 4 trạm, mỗi trạm 5 phút, luân chuyển theo chiều kim đồng hồ. Các đề bài lấy từ bài tập cuối chương đã cho:

• Trạm 1 (Miền xác định): Bài 2: Tập xác định của $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4}$ là gì? A. $(1;+\infty)$; B. $[1;+\infty)\setminus\{4\}$; C. $\mathbb{R}\setminus\{4\}$; D. $[4;+\infty)$.
• Trạm 2 (Hàm bậc hai): Bài 3 và Bài 4: Giá trị lớn nhất của $-x^2+4x+5$ trên $\mathbb{R}$ là bao nhiêu? Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu?
• Trạm 3 (Bất phương trình): Bài 5: Tập nghiệm của $-x^2+4x+5\ge 0$ là gì? A. $[-1;5]$; B. $(-\infty;-1]\cup[5;+\infty)$; C. $\mathbb{R}$; D. $\varnothing$. Bài 10: Tập nghiệm của $x^2-4<0$ là gì? A. $[-2;2]$; B. $(-2;2)$; C. $(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$; D. $\mathbb{R}$.
• Trạm 4 (Hàm số và mệnh đề): Bài 6: Hai đầu vào khác nhau có thể cho cùng một đầu ra không? Bài 8: Phủ định của "$\forall x,\ f(x)>0$" là gì? A. $\forall x,\ f(x)<0$; B. $\exists x,\ f(x)\le 0$; C. $\exists x,\ f(x)>0$; D. $\forall x,\ f(x)\ge 0$. Bài 9: Với $f(x)=2x^2-3x+1$, tính $f(2)$.
  HS làm bài trên Phiếu học tập số 2 (phần luyện tập) và kiểm tra đáp án trên trang NeoEdu nếu còn thời gian.

Đáp án cần đạt ở từng trạm:

• Trạm 1: Đáp án B. Lập luận: $x-1\ge 0$ và $x-4\ne 0$.
• Trạm 2: Giá trị lớn nhất là $9$ (đạt tại $x=2$); hoành độ đỉnh là $2$.
• Trạm 3: Bài 5 đáp án A; Bài 10 đáp án B. Lập luận: Bài 5 là parabol mở xuống, dương giữa hai nghiệm, lấy biên; Bài 10 có hai nghiệm $\pm 2$ bị loại vì bất đẳng thức nghiêm ngặt.
• Trạm 4: Bài 6: Đúng, vì hàm số chỉ yêu cầu mỗi đối số cho duy nhất một đầu ra. Bài 8: Đáp án B. Bài 9: $f(2)=3$.
  Kiến thức HS rút ra: Mỗi bài trắc nghiệm đều kiểm tra một điều kiện hoặc một quy tắc cụ thể; cần lập luận được vì sao chọn đáp án đó.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng hàm bậc hai, dùng đỉnh parabol và bảng xét dấu để trả lời các câu hỏi về độ cao và thời gian, đồng thời đánh giá tính hợp lí của kết quả.

Một quả bóng được ném lên, độ cao (mét) sau $t$ giây (với $t\ge 0$) được mô tả bởi hàm $h(t)=-t^2+4t+5$, trong đó $h(t)=0$ nghĩa là bóng chạm đất.
Nhiệm vụ:

• Tìm thời điểm bóng đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó.
• Xác định khoảng thời gian mà bóng ở độ cao không âm (trong miền thực tế $t\ge 0$).
• Giải thích vì sao miền $t\ge 0$ cần được giữ khi xét kết quả.

Kết quả cần đạt:

• $h(t)=9-(t-2)^2\le 9$, đạt tại $t=2$. Bóng đạt độ cao lớn nhất $9$ m sau $2$ giây.
• $h(t)\ge 0$ khi $t\in[-1;5]$; kết hợp với $t\ge 0$ thì $t\in[0;5]$. Bóng ở độ cao không âm trong khoảng $0$ đến $5$ giây.
• Giải thích: $t=-1$ không có ý nghĩa thực tế vì thời gian không âm, nên phải lấy $t\ge 0$ khi kết luận.
  Kiến thức HS rút ra: Mô hình bậc hai cho phép tìm cực trị và miền nghiệm; kết quả phải được đối chiếu với điều kiện thực tế.