Giáo án Bài 19. Phương trình đường thẳng

HS nhớ lại vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và điều kiện vuông góc; nhận ra một đường thẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương.

GV chiếu đề: Cho điểm $M_0(1;2)$ và vectơ $\vec{n}=(1;1)$. Một điểm $M(x;y)$ thuộc đường thẳng đi qua $M_0$ và nhận $\vec{n}$ làm pháp tuyến khi nào? Hãy viết điều kiện đó bằng tích vô hướng. HS trả lời nhanh trên giấy nháp, sau đó thảo luận theo cặp về việc chọn vectơ chỉ phương $\vec{u}$ sao cho $\vec{u}\perp\vec{n}$.

HS viết được điều kiện $\overrightarrow{M_0M}\cdot\vec{n}=0$. Suy ra $1\cdot(x-1)+1\cdot(y-2)=0$, tức $x+y-3=0$. Một vectơ chỉ phương có thể là $\vec{u}=(1;-1)$ vì $(1;-1)\cdot(1;1)=0$.

HS nêu và viết được phương trình tổng quát của đường thẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến; giải thích được điều kiện $a,b$ không đồng thời bằng 0 và vì sao các bội khác 0 cho cùng đường thẳng.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhóm xét ví dụ: đường thẳng qua $A(1;2)$ và $B(4;-1)$. Các câu hỏi: (1) Tính $\overrightarrow{AB}$. (2) Chọn một vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. (3) Viết phương trình tổng quát qua $A$. (4) Kiểm tra $B$ có thuộc đường thẳng vừa tìm không. (5) Viết $2x+2y-6=0$ và giải thích vì sao cùng đường với $x+y-3=0$. (6) Tại sao $0x+0y+1=0$ không là phương trình đường thẳng?

(1) $\overrightarrow{AB}=(3;-3)$. (2) Chọn $\vec{n}=(1;1)$ vì $(3;-3)\cdot(1;1)=0$. (3) $1(x-1)+1(y-2)=0$ hay $x+y-3=0$. (4) Thay $B(4;-1)$: $4-1-3=0$ nên $B$ thuộc đường thẳng. (5) $2x+2y-6=2(x+y-3)=0$ có cùng tập nghiệm với $x+y-3=0$ vì nhân với hằng số khác 0. (6) Điều kiện $a,b$ không đồng thời bằng 0 là bắt buộc; khi $a=b=0$ phương trình $1=0$ vô nghiệm nên không biểu diễn đường thẳng.
Kiến thức HS rút ra: $ax+by+c=0$ với $(a;b)\neq(0;0)$ là phương trình tổng quát; $\vec{n}=(a;b)$ là vectơ pháp tuyến.

HS viết được phương trình tham số khi biết một điểm và vectơ chỉ phương; nhận biết điểm ứng với giá trị tham số $t$; nêu được hệ số góc $m=-\dfrac{a}{b}$ khi $b\neq 0$ và nhận biết đường thẳng đứng không có hệ số góc hữu hạn.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 2. Dùng lại ví dụ $A(1;2)$, $B(4;-1)$. Các câu hỏi: (1) Chọn vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ hoặc $\vec{u}=(1;-1)$ rồi viết phương trình tham số. (2) Tìm giá trị $t$ để điểm tương ứng là $B$. (3) Từ $x+y-3=0$, viết $y$ theo $x$ và xác định hệ số góc $m$. (4) Xét đường $x=2$ có hệ số góc không và vì sao.

(1) Với $\vec{u}=(1;-1)$ và $A(1;2)$: $x=1+t$, $y=2-t$, $t\in\mathbb{R}$. (2) $1+t=4$ suy ra $t=3$; kiểm tra $2-3=-1$ đúng. (3) $y=-x+3$, nên $m=-1$, tức $m=-\dfrac{1}{1}$. (4) Đường $x=2$ là đường đứng, không viết được dạng $y=mx+k$ nên không có hệ số góc hữu hạn.
Kiến thức HS rút ra: phương trình tham số $x=x_0+u_1t$, $y=y_0+u_2t$; nếu $b\neq 0$ thì $y=mx+k$ với $m=-\dfrac{a}{b}$.

HS củng cố nhận biết vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, điều kiện đường thẳng và hệ số góc qua các câu trắc nghiệm và đúng sai ngắn.

GV tổ chức trò chơi “Ai nhanh hơn” theo nhóm. Lần lượt chiếu các bài 1 đến 6: (1) Pháp tuyến của $2x-3y+5=0$. (2) Chỉ phương vuông góc với $\vec{n}=(2;-1)$. (3) Đường $3x+4y+c=0$ qua $(2;3)$, tìm $c$. (4) $0x+0y+1=0$ có là đường thẳng không? (5) Đường $x=2$ có hệ số góc hữu hạn không? (6) Điểm $B(4;-1)$ ứng với $t$ nào trên $x=1+t$, $y=2-t$?

(1) Đáp án A, $\vec{n}=(2;-3)$. (2) Đáp án B, $(1;2)$ vì $(2;-1)\cdot(1;2)=0$. (3) $c=-18$ vì $3\cdot 2+4\cdot 3+c=0$. (4) Sai, vì hai hệ số không đồng thời bằng 0 không được thoả mãn và phương trình vô nghiệm. (5) Đáp án C, không có hệ số góc hữu hạn vì là đường đứng. (6) Đáp án C, $t=3$ vì $1+3=4$ và $2-3=-1$.

HS lập được cả phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm cho trước; kiểm tra điểm thuộc đường thẳng; so sánh các phương trình để nhận biết cùng đường hay khác đường.

HS làm việc nhóm 4 trên bài 7 và bài 8. Bài 7: Lập phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng qua $A(2;-1)$ và $B(-1;5)$, kiểm tra cả hai điểm. Bài 8: Cho các phương trình $x+y-3=0$, $-2x-2y+6=0$, $x+y+3=0$. Phương trình nào cùng đường với $x+y-3=0$? Giải thích.

Bài 7: $\overrightarrow{AB}=(-3;6)$. Chọn $\vec{u}=(-1;2)$, $\vec{n}=(2;1)$. Phương trình tổng quát: $2(x-2)+(y+1)=0$, tức $2x+y-3=0$. Phương trình tham số: $x=2-t$, $y=-1+2t$, $t\in\mathbb{R}$; $t=0$ cho $A$, $t=3$ cho $B$. Kiểm tra $B$ trong phương trình tổng quát: $2(-1)+5-3=0$.
Bài 8: $-2x-2y+6=-2(x+y-3)$ nên cùng đường với $x+y-3=0$. $x+y+3=0$ song song nhưng khác đường vì điểm $(3;0)$ thuộc đường thứ nhất mà không thuộc đường thứ ba.
Gợi ý chấm: đúng từng phương trình và lí do đạt điểm tối đa; chấp nhận mọi phương trình hoặc tham số tương đương đúng.

HS vận dụng phương trình đường thẳng để mô hình hoá đường đi thẳng nối hai địa điểm trên bản đồ có lưới toạ độ, kiểm tra một địa điểm khác có nằm trên đường đi đó hay không.

Trên bản đồ khu phố có lưới ô vuông, đơn vị 1 ô là 100 m, gốc toạ độ đặt tại nhà văn hoá. Nhà bạn An ở $A(1;2)$, trường học ở $B(4;-1)$, siêu thị ở $C(7;-4)$. Nhóm hãy: (1) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. (2) Kiểm tra siêu thị C có nằm trên đường thẳng AB không. (3) Viết phương trình tham số của đường AB và xác định điểm ứng với $t=-1$ có ý nghĩa gì trên bản đồ. (4) Giải thích giới hạn của mô hình: đường thẳng chỉ là mô hình, không tính đến đường phố thực tế.

(1) $x+y-3=0$, vì $AB$ qua $A$ với $\vec{n}=(1;1)$. (2) Thay $C(7;-4)$: $7-4-3=0$, nên C thuộc đường thẳng AB; bản đồ cho thấy ba điểm thẳng hàng. (3) $x=1+t$, $y=2-t$; $t=-1$ cho điểm $(0;3)$, nằm về phía trước điểm A theo chiều ngược với B. (4) Mô hình giả định đường đi là đường thẳng nối hai điểm, thực tế đường phố có thể cong, nên kết quả chỉ đúng với mô hình.
Kiến thức HS rút ra: phương trình đường thẳng giúp kiểm tra ba điểm thẳng hàng và mô tả vị trí trên đường.