Giáo án Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Huy động kiến thức về điểm chung của hai đường thẳng; xác định vấn đề: làm thế nào để nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng khi chỉ biết phương trình.

GV chiếu hình ảnh hai con đường trên bản đồ tọa độ (vẽ hai đường thẳng bằng GeoGebra) và đặt câu hỏi: (1) Hai đường có thể có bao nhiêu điểm chung? (2) Có những trường hợp vị trí nào? (3) Nếu chỉ cho phương trình $d_1: x-y=0$ và $d_2: x+y-4=0$, làm sao biết chúng có giao nhau không và giao tại đâu?

HS nêu được: hai đường thẳng có thể cắt nhau tại đúng một điểm, song song (không có điểm chung), hoặc trùng nhau (vô số điểm chung). Vấn đề cần giải quyết: tìm điều kiện trên hệ số của phương trình để xác định vị trí tương đối.

Hình thành điều kiện cắt nhau bằng định thức $a_1b_2-a_2b_1$; phân biệt song song và trùng nhau khi định thức bằng $0$.

HS làm việc nhóm 4 theo kĩ thuật khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1, phần A. Hệ $\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}$ có nghiệm duy nhất khi nào? Xét ba ví dụ: (a) $x-y=0$ và $x+y-4=0$; (b) $2x-y+1=0$ và $4x-2y+2=0$; (c) $2x-y+1=0$ và $4x-2y-3=0$. Nhóm tính định thức của từng cặp và kết luận vị trí.

Kiến thức HS rút ra: (1) Nếu $a_1b_2-a_2b_1\neq0$ thì hai đường cắt nhau tại đúng một điểm. (2) Nếu $a_1b_2-a_2b_1=0$ thì xét tiếp: ở (b) hệ số của $4x-2y+2=0$ bằng $2$ lần phương trình $2x-y+1=0$ nên hai đường trùng nhau; ở (c) $-3$ không bằng $2$ lần hằng số $1$ nên hai đường song song khác nhau. Ví dụ (a): $a_1b_2-a_2b_1=1\cdot1-1\cdot(-1)=2\neq0$, hai đường cắt nhau tại $(2;2)$ vì từ $x=y$ và $2x=4$ suy ra $x=y=2$.

Hình thành công thức tính góc giữa hai đường thẳng qua vectơ pháp tuyến và nhận biết hai đường vuông góc.

HS hoàn thành Phiếu học tập số 1, phần B: (1) Viết vectơ pháp tuyến của $d_1: x-y=0$ và $d_2: x+y-4=0$. (2) Tính $\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2$. (3) Nêu quy ước góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng nào và viết công thức $\cos\varphi$. (4) Tính góc giữa $d_1$ và $d_2$.

Kiến thức HS rút ra: góc giữa hai đường thẳng $\varphi\in[0^\circ;90^\circ]$, được tính bằng $\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}$. Với $d_1$: $\vec{n}_1=(1;-1)$; $d_2$: $\vec{n}_2=(1;1)$; $\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=1-1=0$ nên $\cos\varphi=0$, suy ra $\varphi=90^\circ$. Kết luận: hai đường vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng $0$.

Hình thành công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; vận dụng để tính khoảng cách, tìm chân đường vuông góc và khoảng cách giữa hai đường song song.

HS hoàn thành Phiếu học tập số 2: (1) Cho $M(1;2)$ và $\Delta: 3x+4y-6=0$; tính $d(M,\Delta)$ theo công thức $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. (2) Tìm chân đường vuông góc $H$ bằng cách đặt $H=M-\lambda(3;4)$ và thay vào phương trình $\Delta$ để tìm $\lambda$; kiểm tra $H\in\Delta$. (3) Tính khoảng cách giữa hai đường đứng $x=1$ và $x=3$ bằng cách lấy điểm $(1;0)$ trên $x=1$.

Kiến thức HS rút ra: $d(M,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ với $(a;b)\neq(0;0)$. Kết quả: (1) $d=\dfrac{|3+8-6|}{\sqrt{25}}=1$. (2) $3(1-3\lambda)+4(2-4\lambda)-6=0$ suy ra $5-25\lambda=0$, $\lambda=\dfrac{1}{5}$, $H\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{6}{5}\right)$; kiểm tra $3\cdot\dfrac{2}{5}+4\cdot\dfrac{6}{5}-6=0$, nên $H\in\Delta$ và $|MH|=1$. (3) $d=\dfrac{|1-3|}{\sqrt{1^2+0^2}}=2$. Khoảng cách luôn không âm vì có trị tuyệt đối ở tử số.

Củng cố điều kiện vị trí tương đối, góc, khoảng cách qua các bài tập trắc nghiệm và tự luận; rèn kĩ năng đối chiếu điều kiện.

HS làm theo nhóm 4 theo kĩ thuật khăn trải bàn, mỗi thành viên phụ trách một câu, thống nhất kết quả trên khăn bàn. Các câu: (1) Hai pháp tuyến có tích vô hướng $0$ thì góc giữa hai đường là gì? A. $0^\circ$; B. $45^\circ$; C. $90^\circ$; D. $180^\circ$. (2) Tính khoảng cách từ $(1;2)$ đến $3x+4y-6=0$. (3) Tính khoảng cách giữa $x=1$ và $x=3$. (4) Vị trí của $2x-y+1=0$ và $4x-2y+2=0$: A. cắt nhau; B. song song khác; C. trùng nhau; D. không phải đường thẳng. (5) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có thể âm không? (6) Giao điểm của $x-y=0$ và $x+y=4$: A. $(4;0)$; B. $(2;2)$; C. $(0;4)$; D. $(-2;-2)$. (7) So sánh vị trí và khoảng cách của $d_1: x=1$, $d_2: 2x-2=0$, $d_3: x=3$; giải thích vì sao không tính tỉ số $\dfrac{0}{0}$.

Đáp án: (1) C, vì hai vectơ pháp tuyến khác $\vec{0}$ vuông góc nên hai đường vuông góc. (2) $1$, vì $\dfrac{|3+8-6|}{\sqrt{25}}=1$. (3) $2$, vì $|3-1|=2$. (4) C, vì mọi hệ số của phương trình thứ hai bằng $2$ lần phương trình thứ nhất. (5) Sai, vì nhờ trị tuyệt đối tử không âm và mẫu dương nên khoảng cách luôn $\geq 0$. (6) B, vì $x=y$, $2x=4$ suy ra $x=y=2$. (7) $d_2$ tương đương $x=1$ nên trùng $d_1$, khoảng cách $0$; $d_3$ là đường đứng song song với $d_1$, khoảng cách $2$. Không tính tỉ số vì hệ số $b=0$ ở cả ba đường, nên đưa về dạng $x=\text{hằng số}$ hoặc kiểm tra tập nghiệm.

Mô hình hoá tình huống thực tế trên bản đồ tọa độ bằng đường thẳng và điểm; tính khoảng cách và góc giao nhau để giải quyết vấn đề.

Trên bản đồ tọa độ (đơn vị km), đường cao tốc được mô tả bởi $\Delta: 3x+4y-6=0$. (a) Trạm phát sóng A đặt tại $M(1;2)$; tính khoảng cách từ A đến đường cao tốc. (b) Nhà máy đặt tại $N(3;5)$; tính khoảng cách từ N đến đường cao tốc. (c) Hai đường cao tốc $x-y=0$ và $x+y-4=0$ giao nhau; đường nào vuông góc nhau và góc giao là bao nhiêu? Đánh giá: kết quả có hợp lí không khi đổi đơn vị?

(a) $1$ km, vì $d=\dfrac{|3+8-6|}{5}=1$. (b) $d=\dfrac{|9+20-6|}{5}=\dfrac{23}{5}=4{,}6$ km. (c) Hai đường vuông góc, góc $90^\circ$, giao tại $(2;2)$. Kết luận: trạm A cách đường cao tốc $1$ km, nhà máy N cách $4{,}6$ km; kết quả không âm và phù hợp với đơn vị km.