Giáo án Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

HS nhớ lại công thức khoảng cách giữa hai điểm và nhận ra đường tròn là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định, từ đó xác định vấn đề bài học.

GV vẽ hệ trục Oxy, đánh dấu tâm $I(2;-1)$ và một điểm $M(x;y)$ bất kì trên đường tròn có bán kính $R=5$. GV hỏi: (1) Nêu công thức tính độ dài đoạn $IM$ theo tọa độ hai điểm. (2) Điểm $M$ thuộc đường tròn khi nào? (3) Viết hệ thức mà tọa độ mọi điểm trên đường tròn phải thỏa mãn.

HS viết được $IM=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}$. Điểm $M$ thuộc đường tròn khi và chỉ khi $IM=R$, tức là $\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}=5$. Từ đó bình phương hai vế, HS có hệ thức $(x-2)^2+(y+1)^2=25$. GV ghi tên bài: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ.

HS nêu được hai dạng phương trình đường tròn, biết chuyển từ dạng chính tắc sang dạng khai triển và ngược lại bằng hoàn thành bình phương, từ đó giải thích điều kiện $a^2+b^2-c>0$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhóm thực hiện: (a) khai triển $(x-2)^2+(y+1)^2=25$; (b) từ $x^2+y^2-4x+2y+6=0$, hoàn thành bình phương để tìm tâm và bán kính, hoặc nêu lí do không có đường tròn; (c) nêu điều kiện để $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn. Kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi HS ghi lời giải ở ô riêng, sau đó cả nhóm thống nhất ô trung tâm.

(a) $x^2+y^2-4x+2y-20=0$. (b) $(x-2)^2+(y+1)^2=4+1-6=-1<0$, không có điểm thực nên không là đường tròn. Với $a=2$, $b=-1$, $c=6$ thì $a^2+b^2-c=-1$. (c) Dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là đường tròn khi $a^2+b^2-c>0$; khi đó tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$. Nếu $a^2+b^2-c=0$ thì tập hợp chỉ là một điểm; nếu $a^2+b^2-c<0$ thì không có điểm thực nào.

HS giải thích được tiếp tuyến tại điểm $M$ thuộc đường tròn vuông góc với bán kính $IM$, nên nhận $IM$ làm pháp tuyến và viết được phương trình tiếp tuyến.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 2, xét đường tròn $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ và điểm $M(5;3)$. Nhiệm vụ: (1) Kiểm tra $M$ có thuộc đường tròn không. (2) Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow{IM}$ và độ dài $IM$. (3) Giải thích vì sao $\overrightarrow{IM}$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. (4) Viết phương trình tiếp tuyến tại $M$ và kiểm tra lại bằng công thức khoảng cách.

(1) $(5-2)^2+(3+1)^2=9+16=25$, nên $M$ thuộc đường tròn. (2) $\overrightarrow{IM}=(3;4)$, $IM=\sqrt{9+16}=5=R$. (3) Bán kính tại tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến, nên $IM$ là pháp tuyến. (4) Tiếp tuyến: $3(x-5)+4(y-3)=0$, tức $3x+4y-27=0$. Kiểm tra: $d(I;\Delta)=\dfrac{|3\cdot 2+4\cdot(-1)-27|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{25}{5}=5=R$. Kết luận: phương trình tiếp tuyến tại $M(x_M;y_M)$ là $(x_M-a)(x-x_M)+(y_M-b)(y-y_M)=0$; chỉ dùng khi $M$ thuộc đường tròn.

HS xác định được số giao điểm của đường thẳng và đường tròn bằng cách so sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng với bán kính.

GV nêu câu hỏi: Cho đường tròn tâm $I$, bán kính $R$ và đường thẳng $\Delta$, gọi $d=d(I;\Delta)$. So sánh $d$ với $R$ và cho biết số giao điểm trong ba trường hợp: $d>R$, $d=R$, $d<R$. Áp dụng: với đường thẳng $3x+4y-27=0$ và đường tròn $(x-2)^2+(y+1)^2=25$, xét vị trí tương đối.

Bảng kết luận: $d>R$ thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung (0 giao điểm); $d=R$ thì đường thẳng tiếp xúc đường tròn (1 giao điểm, là tiếp điểm); $d<R$ thì đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm. Áp dụng: $d=5=R$ nên đường thẳng $3x+4y-27=0$ tiếp xúc đường tròn tại $M(5;3)$.

HS vận dụng công thức đường tròn, tiếp tuyến và vị trí tương đối để trả lời trắc nghiệm, giải bài tự luận có kiểm tra điều kiện.

Phần A (10 phút, cá nhân rồi đối chiếu cặp đôi): trả lời các câu 1 đến 6. Phần B (15 phút, nhóm 4, kĩ thuật mảnh ghép): bài 7 và bài 8 do các nhóm chia nhau; mỗi HS sau khi xong giảng lại cho một bạn trong nhóm. Có thể dùng bài tương tác trên trang NeoEdu để tự kiểm tra.

Phần A:

1. Tâm của $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ là: A. $(2;1)$; B. $(-2;1)$; C. $(2;-1)$; D. $(-2;-1)$.
2. Bán kính của $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ là bao nhiêu?
3. Tập nghiệm của $x^2+y^2-4x+2y+6=0$ là: A. Đường tròn có $R=1$; B. Một điểm; C. Không có điểm thực; D. Đường thẳng.
4. Đúng hay sai: tiếp tuyến tại $M$ thuộc đường tròn có pháp tuyến $IM$.
5. Tâm $I$ cách đường thẳng $d$ một khoảng $3$, bán kính $R=3$. Số giao điểm là bao nhiêu?
6. Đường thẳng $d$ cách tâm $4$, bán kính $R=3$. Khi đó: A. Cắt tại 2 điểm; B. Tiếp xúc; C. Không giao nhau; D. Trùng đường tròn.

Phần B:
7. Với $I(2;-1)$, $R=5$, $M(5;3)$: kiểm tra $M$ thuộc đường tròn, lập tiếp tuyến tại $M$ bằng cả cách dùng pháp tuyến và cách kiểm tra khoảng cách.
8. Hoàn thành bình phương $x^2+y^2+6x-8y+16=0$, xác định tâm, bán kính và xét giao với đường thẳng $x=0$.

Đáp án phần A: 1. C (vì $y+1=y-(-1)$). 2. $R=\sqrt{25}=5$ (không phải 25). 3. C, vì $(x-2)^2+(y+1)^2=-1$ không có nghiệm thực. 4. Đúng, vì bán kính tại tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến. 5. 1 giao điểm, vì $d=R$ là tiếp xúc. 6. C, vì $4>3$ nên đường thẳng nằm ngoài đường tròn.

Đáp án bài 7: $IM=(3;4)$, $|IM|=5$ nên $M$ thuộc đường tròn. Tiếp tuyến: $3(x-5)+4(y-3)=0$, tức $3x+4y-27=0$. Khoảng cách $d(I;\Delta)=\dfrac{|6-4-27|}{5}=5=R$, và $M$ thỏa $15+12-27=0$.

Đáp án bài 8: $(x+3)^2+(y-4)^2=9$, tâm $(-3;4)$, $R=3$. Đường thẳng $x=0$ cách tâm một khoảng $3=R$ nên tiếp xúc. Thay $x=0$: $(y-4)^2=0$, tiếp điểm $(0;4)$. Chú ý: không lấy $R^2=16$ từ hằng số ban đầu.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng đường tròn và đường thẳng trên bản đồ tọa độ, xét vị trí tương đối và đánh giá kết quả trong bối cảnh thực tế.

Trên bản đồ tọa độ của một thị trấn (đơn vị: km), khu vui chơi là hình tròn có phương trình $(x-1)^2+(y-2)^2=16$. Một tuyến đường quốc lộ được biểu diễn bằng đường thẳng $\Delta: 3x+4y-27=0$. Nhiệm vụ: (1) Xác định tâm và bán kính khu vui chơi. (2) Tính khoảng cách từ tâm khu vui chơi đến tuyến đường và cho biết tuyến đường có cắt khu vui chơi không. (3) Nếu tuyến đường cách tâm đúng bằng bán kính thì nó sẽ tiếp xúc khu vui chơi như thế nào? Đề xuất một lí do thực tế để chọn phương án đặt tuyến đường.

(1) Tâm $I(1;2)$, bán kính $R=4$ km. (2) $d(I;\Delta)=\dfrac{|3\cdot 1+4\cdot 2-27|}{5}=\dfrac{16}{5}=3{,}2$ km. Vì $3{,}2<4$ nên tuyến đường cắt khu vui chơi tại 2 điểm. (3) Nếu $d=R$ thì tuyến đường chỉ chạm khu vui chơi tại một điểm, là tiếp điểm. Lí do thực tế dự kiến: tuyến đường có thể đi sát khu vui chơi để thuận tiện nhưng cần tránh cắt vào khu vực, do đó cần giữ khoảng cách lớn hơn bán kính; HS đánh giá kết quả hợp lí vì khoảng cách là đại lượng không âm.