Giáo án Bài 22. Ba đường conic

Huy động kiến thức về đường tròn dưới dạng tập hợp điểm; từ đó nhận ra cần thêm các đường cong mới để mô tả quỹ đạo thực tế.

GV chiếu ba hình: quỹ đạo ném xiên của quả bóng, quỹ đạo quay quanh Mặt Trời của một hành tinh, mặt cắt của một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng. HS trả lời ba câu hỏi:

• Tập hợp các điểm $M$ sao cho $OM=5$ với $O$ cố định là hình gì?
• Nếu $M$ luôn có tổng khoảng cách tới hai điểm $F_1$, $F_2$ cố định bằng một số không đổi, $M$ nằm trên đường nào?
• Quỹ đạo quả bóng ném có giống đường tròn không? Vì sao?

• Tập hợp điểm $OM=5$ là đường tròn tâm $O$, bán kính $5$.
• Với tổng khoảng cách không đổi, HS dự đoán được đường cong khép kín, không phải đường tròn (đường elip).
• Quỹ đạo quả bóng không khép kín và không cách đều một điểm cố định, nên không phải đường tròn; cần đường cong mới.
• Kết luận: Ba đường conic là elip, hypebol, parabol; được xác định bằng tính chất hình học của các điểm đối với tiêu điểm.

Nêu được định nghĩa elip, viết được phương trình chính tắc và xác định $a$, $b$, $c$, tiêu điểm từ phương trình.

Nhóm làm thí nghiệm theo Phiếu học tập số 1: cố định hai đinh ghim $F_1$, $F_2$ cách nhau $2c=8$ (đơn vị trên giấy), buộc dây có độ dài $2a=10$ đơn vị, đặt bút căng dây và vẽ một vòng khép kín quanh hai đinh.
HS trả lời: (1) Tổng $MF_1+MF_2$ có thay đổi khi bút di chuyển không? (2) Vì sao $2a>2c$ là điều kiện để có đường cong? (3) Nếu $2a=2c=8$ thì hình thu được là gì? (4) Chọn hệ trục $Oxy$ với $F_1(-c;0)$, $F_2(c;0)$, từ $MF_1+MF_2=2a$ suy ra phương trình chính tắc $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ với $b^2=a^2-c^2$. (5) Với $a=5$, $c=4$, tính $b$, tiêu điểm và kiểm tra điểm $\left(3;\dfrac{12}{5}\right)$ có thuộc elip $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ không.

• Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho $MF_1+MF_2=2a$ không đổi, với $2a>2c>0$.
• Khi $2a=2c$ hình thu được là đoạn thẳng $F_1F_2$, không phải elip; nên điều kiện là $2a>2c$.
• Phương trình chính tắc: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, với $a>b>0$, $c^2=a^2-b^2$, tiêu điểm $F_1(-c;0)$, $F_2(c;0)$.
• Ví dụ: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ có $a=5$, $b=3$, $c=\sqrt{25-9}=4$, $F_1(-4;0)$, $F_2(4;0)$, tiêu cự $2c=8$.
• Kiểm tra: $\dfrac{9}{25}+\dfrac{144/25}{9}=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1$, nên $\left(3;\dfrac{12}{5}\right)$ thuộc elip.

Nêu được định nghĩa hypebol qua trị tuyệt đối hiệu khoảng cách, phân biệt với elip và xác định $a$, $b$, $c$ từ phương trình chính tắc.

Cặp đôi làm phần A của Phiếu học tập số 2. Cho hai điểm $F_1(-5;0)$, $F_2(5;0)$ và điểm $M\left(5;\dfrac{16}{3}\right)$, tính $MF_1$, $MF_2$ và $|MF_1-MF_2|$. Sau đó HS trả lời: (1) Điều kiện $0<2a<2c$ có ý nghĩa gì? (2) Vì sao phải có dấu giá trị tuyệt đối? (3) Với hypebol $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$, tìm $a$, $b$, $c$, tiêu cự và kiểm tra điểm $\left(5;\dfrac{16}{3}\right)$.

• $MF_1=\sqrt{10^2+\left(\dfrac{16}{3}\right)^2}=\dfrac{34}{3}$, $MF_2=\dfrac{16}{3}$, $|MF_1-MF_2|=\dfrac{18}{3}=6$.
• Định nghĩa: Hypebol là tập hợp các điểm $M$ sao cho $|MF_1-MF_2|=2a$ không đổi, với $0<2a<2c$.
• Phương trình chính tắc: $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, với $a,b>0$, $c^2=a^2+b^2$.
• Ví dụ: $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ có $a=3$, $b=4$, $c=\sqrt{9+16}=5$, tiêu cự $2c=10$.
• Kiểm tra: $\dfrac{25}{9}-\dfrac{256/9}{16}=\dfrac{25}{9}-\dfrac{16}{9}=1$, nên $\left(5;\dfrac{16}{3}\right)$ thuộc hypebol.
• Phân biệt: elip dùng tổng $MF_1+MF_2$ và dấu cộng; hypebol dùng hiệu $|MF_1-MF_2|$ và dấu trừ.

Nêu được định nghĩa parabol và giải thích được dạng $y^2=2px$, tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn.

Cả lớp làm phần B của Phiếu học tập số 2. Cho parabol $y^2=8x$. HS trả lời: (1) Tìm $p$, tiêu điểm $F$ và phương trình đường chuẩn. (2) Kiểm tra điểm $M(2;4)$ có thuộc parabol không; tính $MF$ và khoảng cách từ $M$ tới đường chuẩn. (3) Vì sao với $p>0$ parabol mở về phía $x>0$? (4) Phân biệt hệ số $2p$ với tọa độ tiêu điểm $\dfrac{p}{2}$.

• Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm $F$ cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng $\Delta$ cố định (đường chuẩn), $F$ không thuộc $\Delta$.
• Với $y^2=2px$, $p>0$: đỉnh $O$, tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)$, đường chuẩn $x=-\dfrac{p}{2}$.
• Ví dụ: $y^2=8x$ có $2p=8$, $p=4$, $F(2;0)$, đường chuẩn $x=-2$.
• Kiểm tra: $M(2;4)$ có $4^2=16=8\cdot 2$ nên thuộc parabol; $MF=\sqrt{0+4^2}=4$; khoảng cách từ $M$ tới $x=-2$ là $|2-(-2)|=4$, hai khoảng cách bằng nhau.
• Lưu ý: $2p=8$ là hệ số trong phương trình, còn tiêu điểm có hoành độ $\dfrac{p}{2}=2$.

Vận dụng định nghĩa và phương trình chính tắc để xác định tham số, tiêu điểm và kiểm tra điểm thuộc đường conic.

GV chiếu lần lượt 6 câu sau, HS trả lời trên bảng con:

1. Elip $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ có $c$ bằng bao nhiêu? A. 3; B. 4; C. 5; D. 8.
2. Hypebol $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ có tiêu cự $2c$ bằng bao nhiêu?
3. Tiêu điểm của parabol $y^2=8x$ là gì? A. $(8;0)$; B. $(4;0)$; C. $(2;0)$; D. $(0;2)$.
4. Đúng hay sai: Hypebol $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ có $a^2-b^2=c^2$.
5. Điểm nào thuộc elip $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$? A. $\left(3;\dfrac{12}{5}\right)$; B. $(3;3)$; C. $(5;3)$; D. $(0;5)$.
6. Parabol $y^2=8x$, điểm $M(2;4)$. Khoảng cách từ $M$ tới $F(2;0)$ bằng bao nhiêu?

Đáp án và cách lập luận:

1. Đáp án B: $c^2=25-9=16$, $c=4$, tiêu cự $2c=8$.
2. Đáp án: $10$. Vì $c^2=9+16=25$, $c=5$, $2c=10$.
3. Đáp án C: $2p=8$, $p=4$, tiêu điểm $\left(\dfrac{p}{2};0\right)=(2;0)$.
4. Sai. Với hypebol $c^2=a^2+b^2$; hiệu $a^2-b^2$ thuộc elip.
5. Đáp án A: $\dfrac{9}{25}+\dfrac{144/25}{9}=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1$.
6. Đáp án: $4$. Vì $MF=|4-0|=4$, bằng khoảng cách tới đường chuẩn $x=-2$.

Vận dụng kiến thức elip để lập mô hình từ số đo thực tế, xác định tham số và nêu giới hạn của kết quả khi số đo là gần đúng.

Nhóm 4 HS giải bài toán: Một elip tâm $O$, trục lớn nằm trên $Ox$, được đo hai trục là $10$ và $6$ đơn vị. Lập phương trình, tìm tiêu điểm, tiêu cự; nêu giới hạn nếu các số đo chỉ là gần đúng.
Sau đó, nhóm mở học liệu NeoEdu, đọc ba phương trình $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$, $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$, $y^2=8x$ và tóm tắt $a$, $b$, $c$, tiêu điểm, đường chuẩn của từng đường.

• Bán trục: $a=5$, $b=3$; phương trình $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$.
• $c=\sqrt{25-9}=4$, tiêu điểm $F_1(-4;0)$, $F_2(4;0)$, tiêu cự $2c=8$.
• Giới hạn: Nếu $10$ và $6$ là số đo gần đúng thì $a$, $b$ và phương trình chỉ là mô hình gần đúng; cần ghi độ chính xác của phép đo và quy trình đo. Đo vài điểm không đủ để kết luận hình thật hoàn toàn là elip.
• Tóm tắt: Elip $a=5$, $b=3$, $c=4$; hypebol $a=3$, $b=4$, $c=5$; parabol $p=4$, $F(2;0)$, đường chuẩn $x=-2$.