Giáo án Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Xác định vấn đề bài học: phương trình chứa căn cần điều kiện xác định và vế phải không âm; nhận ra có thể xuất hiện nghiệm không thỏa điều kiện.

GV trình chiếu hai phương trình: a) $\sqrt{x+1}=2$; b) $\sqrt{x}=-2$. HS trả lời nhanh: Phương trình nào có nghiệm? Vì sao vế trái $\sqrt{x}$ có thể bằng $-2$ hay không? Sau đó, GV nêu câu hỏi: Nếu bình phương hai vế của $\sqrt{x}=-2$ ta được $x=4$; nghiệm này có thỏa phương trình gốc không?

a) $\sqrt{x+1}=2 \Rightarrow x+1=4 \Rightarrow x=3$; thử lại $\sqrt{4}=2$ đúng, nghiệm $x=3$.
b) Vế trái $\sqrt{x}\ge 0$ nên không thể bằng $-2$, phương trình vô nghiệm (đáp án C).
Kết luận HS rút ra: khi giải phương trình chứa căn phải chú ý điều kiện của căn và dấu của vế phải; bình phương có thể đưa vào nghiệm không thỏa mãn.

Hình thành kiến thức: điều kiện để phương trình $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ và $\sqrt{f(x)}=g(x)$ tương đương với các hệ điều kiện tương ứng.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1: (1) Với $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$, tìm điều kiện để phương trình tương đương với $f(x)=g(x)$ và $g(x)\ge 0$ hoặc $f(x)\ge 0$. (2) Với $\sqrt{f(x)}=g(x)$, tìm điều kiện để tương đương với $f(x)=g(x)^2$ và $g(x)\ge 0$. (3) Giải thích vì sao khi $f(x)=g(x)^2$ thì điều kiện $f(x)\ge 0$ được tự động thỏa mãn.

Kiến thức HS rút ra:

• $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)\ge 0$.
• $\sqrt{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)^2$ và $g(x)\ge 0$.
  Giải thích: căn số học luôn không âm nên $g(x)\ge 0$ là bắt buộc; khi $f(x)=g(x)^2$ thì $f(x)\ge 0$ đúng với mọi $x$ thoả mãn phương trình nên không cần kiểm thêm.

Hình thành kĩ năng giải phương trình chứa căn bằng cách đưa về phương trình bậc hai, đối chiếu điều kiện và loại nghiệm ngoại lai.

Nhóm 4 HS làm Ví dụ 1: giải $\sqrt{2x+3}=x$, và Ví dụ 2: giải $\sqrt{x^2-x-2}=\sqrt{2x+2}$ theo Phiếu học tập số 2 (phần A). Với mỗi ví dụ, nhóm ghi điều kiện xác định, lập phương trình bậc hai, giải, rồi kiểm tra từng nghiệm với điều kiện và phương trình gốc.

Ví dụ 1: Điều kiện $x\ge 0$ (vế phải, kéo theo $2x+3\ge 0$). Bình phương: $x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3$ hoặc $x=-1$. Chỉ $x=3$ thỏa $x\ge 0$: $\sqrt{9}=3$ đúng. Loại $x=-1$ vì vế phải bằng $-1$ âm, còn $\sqrt{1}=1\ne -1$. Tập nghiệm $\{3\}$.
Ví dụ 2: Điều kiện $2x+2\ge 0$ và $x^2-x-2\ge 0$, bình phương: $x^2-3x-4=0 \Rightarrow x=4$ hoặc $x=-1$. Cả hai thỏa điều kiện $2x+2\ge 0$: với $x=4$ hai biểu thức dưới căn đều bằng $10$; với $x=-1$ hai biểu thức đều bằng $0$. Tập nghiệm $\{-1;4\}$.

Củng cố điều kiện tương đương, nhận biết nghiệm ngoại lai và sử dụng bài tập tương tác để kiểm tra kết quả.

Bài tập 1 đến 6 (đề và đáp án đã cho):

1. $\sqrt{f(x)}=g(x)$ tương đương điều kiện nào? A. $f=g^2$ không điều kiện; B. $f=g^2$ và $g\ge 0$; C. $f=g^2$ và $g<0$; D. $f=g$.
2. $\sqrt{x+1}=2$ có nghiệm $x$ bằng bao nhiêu?
3. $\sqrt{x}=-2$ có nghiệm thực nào? A. 4; B. $-4$; C. Không có; D. 0.
4. Sau khi bình phương hai vế, có cần kiểm nghiệm không? Đúng hay sai?
5. Trong $\sqrt{2x+3}=x$, vì sao nghiệm $-1$ bị loại? A. Không thỏa $2x+3\ge 0$; B. Vế phải $-1$ âm, không bằng căn; C. Không là nghiệm $x^2-2x-3=0$; D. Phương trình chứa căn luôn loại số âm.
6. Phương trình $\sqrt{x^2-x-2}=\sqrt{2x+2}$ có bao nhiêu nghiệm thực?
   HS thực hiện trên NeoEdu (bài tập tương tác) hoặc giơ thẻ A/B/C/D.

Đáp án:

1. B (căn số học không âm nên vế phải $g(x)\ge 0$; $f(x)=g(x)^2$ tự bảo đảm $f(x)\ge 0$).
2. $x=3$ (từ $x+1=4$, thử lại $\sqrt{4}=2$).
3. C (vế trái không âm, không bằng $-2$).
4. Đúng (phép bình phương có thể làm mất thông tin về dấu).
5. B (căn vẫn tồn tại nhưng vế phải $-1$ âm, nên là nghiệm ngoại lai).
6. 2 nghiệm ($4$ và $-1$ đều thỏa điều kiện).

Vận dụng trọn quy trình giải phương trình chứa căn; giải thích lời giải và đối chiếu điều kiện có đánh giá được giới hạn của kết quả.

Nhóm 4 HS làm theo Phiếu học tập số 2 phần B:
Bài 7: Giải $\sqrt{2x+3}=x$ với đầy đủ điều kiện, phương trình bậc hai và kiểm nghiệm.
Bài 8: Giải $\sqrt{x^2-x-2}=\sqrt{2x+2}$, và chứng minh nghiệm biên $-1$ không bị loại.

Bài 7: Điều kiện $x\ge 0$ (và $2x+3\ge 0$). Bình phương: $x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0$. Chỉ $x=3$ thỏa $x\ge 0$; thử lại $\sqrt{9}=3$. Loại $x=-1$ vì vế phải âm. Tập nghiệm $\{3\}$.
Bài 8: Hai vế đều là căn số học nên cần $x^2-x-2=2x+2\ge 0$. Giải $(x-4)(x+1)=0$ được $x=4$ và $x=-1$. Với $x=4$: hai biểu thức dưới căn đều bằng $10\ge 0$; với $x=-1$: $0\ge 0$, nên cả hai đúng. Nghiệm biên $-1$ không bị loại vì điều kiện là $\ge 0$, không phải $>0$. Tập nghiệm $\{-1;4\}$.
Tiêu chí chấm (thang 1 điểm): bài 7 gồm 0,3 điều kiện; 0,3 bậc hai; 0,3 chọn và kiểm nghiệm; 0,1 tập nghiệm. Bài 8 gồm 0,3 tương đương và miền; 0,3 giải nghiệm; 0,3 kiểm hai nghiệm; 0,1 giải thích biên.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng phương trình chứa căn, giải và kiểm nghiệm nghiệm phù hợp với bối cảnh.

Một tấm bìa hình vuông có diện tích $(2x+3)$ dm² và cạnh bằng $x$ dm. Hãy lập phương trình, giải và kết luận độ dài cạnh tấm bìa. Giải thích vì sao một nghiệm của phương trình không được chọn trong bối cảnh này. Nhiệm vụ về nhà: lập một tình huống thực tế tương tự có phương trình dạng $\sqrt{f(x)}=g(x)$ và tự kiểm tra nghiệm.

Cạnh tấm bìa: $\sqrt{2x+3}=x$ (vì cạnh bằng căn bậc hai của diện tích). Giải được $x=3$ (dm). Nghiệm $x=-1$ bị loại vì độ dài cạnh phải dương, không thể âm.
Kết luận: cạnh tấm bìa là $3$ dm; diện tích $9$ dm² đúng với $2\cdot 3+3=9$.