Giáo án Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Gợi nhớ cách xét dấu của tích và nhận ra một tam thức bậc hai có thể viết dưới dạng tích các nhị thức bậc nhất, từ đó dẫn dắt vào bài học.

HS tính giá trị của $f(x)=(x-2)(x-3)$ tại $x=0$; $x=2{,}5$; $x=4$; sau đó tìm các giá trị $x$ làm $f(x)=0$ và nhận xét dấu của $f(x)$ trên các khoảng $(-\infty;2)$, $(2;3)$, $(3;+\infty)$.

Kết quả: $f(0)=6>0$; $f(2{,}5)=0{,}5\cdot(-0{,}5)=-0{,}25<0$; $f(4)=2\cdot 1=2>0$.
HS rút ra: $f(x)=0$ khi $x=2$ hoặc $x=3$; $f(x)>0$ với $x$ ngoài đoạn $[2;3]$; $f(x)<0$ với $x$ trong khoảng $(2;3)$. Đây là dạng tam thức có hai nghiệm phân biệt, cùng dấu hệ số $a=1>0$ bên ngoài hai nghiệm.

Nêu và giải thích được dấu của $f(x)=ax^2+bx+c$ khi $\Delta<0$ và khi $\Delta=0$; nhận biết ý nghĩa của nghiệm kép trong việc lấy hay loại nghiệm.

Nhóm HS hoàn thành Phiếu học tập số 1, xét hai ví dụ: $f(x)=x^2+1$ (có $a=1>0$, $\Delta<0$) và $f(x)=-(x-2)^2$ (có $a=-1<0$, $\Delta=0$). Nhóm tìm dấu của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$, xác định giá trị $x$ làm $f(x)=0$, sau đó khái quát thành quy tắc cho $\Delta<0$ và $\Delta=0$.

Kết luận HS ghi được:

• Nếu $\Delta<0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.
• Nếu $\Delta=0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x\ne -\dfrac{b}{2a}$, và $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=0$ (nghiệm kép).
  Ví dụ: $x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x$; $-(x-2)^2\le 0$ với mọi $x$ và bằng 0 chỉ khi $x=2$. Vì vậy $-(x-2)^2\ge 0$ có nghiệm duy nhất $x=2$; $-(x-2)^2<0$ có tập nghiệm $\mathbb{R}\setminus\{2\}$; $x^2+1<0$ không có nghiệm.

Nêu được dấu của tam thức khi $\Delta>0$ dựa vào hai nghiệm $x_1<x_2$; lập được bảng xét dấu và dùng bảng để giải bất phương trình bậc hai.

Nhóm HS hoàn thành Phiếu học tập số 2: phân tích $f(x)=x^2-5x+6$ thành $(x-2)(x-3)$, xác định hai nghiệm, lập bảng xét dấu, rồi giải $x^2-5x+6\le 0$ và $x^2-5x+6>0$. Sau đó nhóm khái quát: với $a>0$ và $\Delta>0$, dấu của $f(x)$ trên ba khoảng là gì; với $a<0$ thì sao.

Kết quả HS ghi được:

• Với $\Delta>0$, $f(x)$ có hai nghiệm $x_1<x_2$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• $f(x)$ cùng dấu $a$ với $x<x_1$ hoặc $x>x_2$; $f(x)$ trái dấu $a$ với $x_1<x<x_2$; $f(x_1)=f(x_2)=0$.
• Ví dụ $x^2-5x+6$: $f(x)>0$ trên $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$; $f(x)<0$ trên $(2;3)$; $f(x)=0$ tại $x=2$ và $x=3$.
• Tập nghiệm của $x^2-5x+6\le 0$ là $[2;3]$ (lấy cả hai đầu vì có dấu bằng); tập nghiệm của $x^2-5x+6>0$ là $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$ (không lấy hai đầu).
• Không áp dụng quy tắc 'ngoài nghiệm cùng dấu $a$' một cách máy móc khi $a<0$: khi đó ngoài nghiệm dấu âm và trong khoảng giữa dấu dương.

Củng cố dấu của tam thức trong ba trường hợp $\Delta$; giải bất phương trình bằng bảng xét dấu và giải bài toán tìm tham số $m$.

HS làm các bài sau theo cặp đôi (bài 1 đến 6 trắc nghiệm, bài 7 và 8 tự luận):

1. $x^2-5x+6\le 0$ có tập nghiệm nào? A. $(2;3)$; B. $[2;3]$; C. $\mathbb{R}$; D. $(-\infty;2]\cup[3;+\infty)$.
2. Cho $a<0$, $\Delta<0$. Khi đó $ax^2+bx+c$ luôn có dấu gì? A. Dương; B. Âm; C. Bằng 0; D. Đổi dấu hai lần.
3. Tính giá trị của tam thức $(x-2)(x-3)$ tại $x=0$.
4. Khi giải $f(x)>0$, nghiệm kép có được lấy không? Đúng hay sai? Giải thích.
5. $-(x-2)^2\ge 0$ có nghiệm nào? A. $\mathbb{R}$; B. $\emptyset$; C. $\{2\}$; D. $(2;+\infty)$.
6. $x^2+1<0$ có nghiệm gì? A. Mọi $x$; B. $x=0$; C. Không có nghiệm; D. $x>1$.
7. Giải $-x^2+5x-6\ge 0$ bằng bảng xét dấu và nêu rõ biên.
8. Với $f(x)=x^2-2x+m$, tìm $m$ để $f(x)>0$ với mọi $x$ thực.

Đáp án:

1. B. Vì tam thức âm giữa hai nghiệm 2 và 3, và thêm hai nghiệm do dấu $\le$.
2. B. Không có nghiệm thực nên dấu luôn cùng dấu $a$ âm.
3. $6$, vì $(0-2)(0-3)=(-2)(-3)=6>0$.
4. Sai. Tại nghiệm kép $f=0$ nên không thỏa mãn $f(x)>0$, dù dấu hai bên không đổi.
5. C. Số âm bình phương chỉ không âm khi bằng 0, tức $x=2$.
6. C. Vì $x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x$.
7. Ta có $-x^2+5x-6=-(x-2)(x-3)$. Hệ số đầu âm nên tam thức dương giữa 2 và 3, bằng 0 tại 2 và 3, âm ngoài. Tập nghiệm là $[2;3]$, lấy cả hai đầu vì có dấu $\ge$. (Chấp nhận lời giải đúng dưới dạng tương đương, ví dụ đổi dấu thành $x^2-5x+6\le 0$ rồi đáp số vẫn là $[2;3]$.)
8. Ta có $f(x)=(x-1)^2+m-1$, giá trị nhỏ nhất là $m-1$ tại $x=1$. $f(x)>0$ với mọi $x$ khi $m-1>0$, tức $m>1$. Với $m=1$, $f$ có nghiệm kép $x=1$ nên không thỏa mãn $>0$. Kết luận: $m>1$. (Có thể dùng $a>0$ và $\Delta=4-4m<0$ để đi đến cùng kết quả.)

Vận dụng dấu của tam thức bậc hai để mô hình hoá một tình huống thực tế, giải bất phương trình, đối chiếu điều kiện thực tế và đánh giá giới hạn của kết quả.

Một cơ sở sản xuất có lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) khi sản xuất $x$ trăm sản phẩm được mô hình bởi $L(x)=-x^2+8x-12$, với $x\ge 0$. Yêu cầu: (1) Phân tích $L(x)$ thành nhân tử; (2) Tìm các giá trị $x$ để cơ sở có lợi nhuận dương; (3) Đối chiếu với điều kiện thực tế và nêu ý nghĩa; (4) Nêu một giới hạn của mô hình.

Lời giải dự kiến:

• $L(x)=-x^2+8x-12=-(x-2)(x-6)$.
• Cần $L(x)>0$, tức $-(x-2)(x-6)>0$ hay $(x-2)(x-6)<0$, suy ra $2<x<6$.
• Đối chiếu $x\ge 0$: vẫn giữ $2<x<6$.
• Kết luận: cơ sở có lợi nhuận dương khi sản xuất từ $200$ đến $600$ sản phẩm (không tính đúng 200 và 600, vì tại đó lợi nhuận bằng 0).
• Giới hạn: mô hình là bậc hai nên chỉ là ước lượng trong khoảng sản lượng nhất định; thực tế có thể khác do chi phí và thị trường thay đổi.