Giáo án Bài 16. Hàm số bậc hai

Tạo tình huống gợi vấn đề, giúp HS nhận ra một đại lượng phụ thuộc bậc hai vào đại lượng khác và thấy nhu cầu xác định chính xác giá trị lớn nhất.

GV đưa mô hình $h(t)=-t^2+6t+1$ (đơn vị: $h$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây) với điều kiện $0\le t\le 6$. Nhiệm vụ:

• Hàm số này thuộc dạng nào, xác định các hệ số $a$, $b$, $c$.
• Tính $h(0)$, $h(3)$, $h(6)$.
• Dự đoán thời điểm $h$ đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó bằng bao nhiêu. Dự đoán có chắc chắn không, cần kiến thức nào để khẳng định?

Dự kiến HS trả lời:

• Đây là hàm bậc hai với $a=-1$, $b=6$, $c=1$ và $a<0$.
• $h(0)=1$, $h(3)=10$, $h(6)=1$.
• HS dự đoán $t=3$ và $h_{\max}=10$ m, nhưng chưa có cơ sở chắc chắn; cần biết cách tìm đỉnh của parabol.
• Kết luận mở đầu: cần học cách xác định đỉnh, trục đối xứng và chiều bề lõm của hàm bậc hai.

HS hình thành kiến thức về đỉnh $I$, trục đối xứng, chiều bề lõm và cực trị của hàm số bậc hai thông qua biến đổi hoàn thành bình phương.

HS hoạt động nhóm 4 theo Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ chính:

• Hoàn thành bình phương cho $y=ax^2+bx+c$ với $a\neq 0$ để đưa về dạng $y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}$ với $\Delta=b^2-4ac$.
• Từ đó suy ra đỉnh, trục đối xứng, và so sánh giá trị của $y$ với giá trị tại đỉnh khi $a>0$ và khi $a<0$.
• Áp dụng với $y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$: xác định đỉnh, trục đối xứng, khoảng đơn điệu, giá trị nhỏ nhất.
• Dùng khăn trải bàn nhóm để lập bảng so sánh dấu của $a$ với chiều bề lõm và cực trị.

Kiến thức HS rút ra:

• Parabol $y=ax^2+bx+c$ có trục đối xứng $x=\dfrac{-b}{2a}$ và đỉnh $I\left(\dfrac{-b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)$, $\Delta=b^2-4ac$.
• Nếu $a>0$: parabol mở lên, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $\dfrac{-\Delta}{4a}$ tại đỉnh, nghịch biến trên $\left(-\infty;\dfrac{-b}{2a}\right)$ và đồng biến trên $\left(\dfrac{-b}{2a};+\infty\right)$.
• Nếu $a<0$: parabol mở xuống, hàm số đạt giá trị lớn nhất $\dfrac{-\Delta}{4a}$ tại đỉnh, đồng biến và nghịch biến theo thứ tự ngược lại.
• Với $y=x^2-4x+3$: $a=1$, $\Delta=4$, đỉnh $I(2;-1)$, trục $x=2$, nghịch biến trên $(-\infty;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty)$, giá trị nhỏ nhất $-1$ khi $x=2$.

HS vẽ đúng đồ thị hàm bậc hai dựa trên đỉnh, trục đối xứng và các giao điểm với trục tọa độ; biết liên hệ giao điểm với trục $Ox$ với nghiệm của phương trình bậc hai.

GV chiếu hình parabol $y=x^2-4x+3$ và hướng dẫn HS vẽ theo các bước:

• Xác định giao điểm với $Oy$: cho $x=0$, tìm $y$.
• Xác định giao điểm với $Ox$: giải phương trình $x^2-4x+3=0$.
• Lập bảng giá trị với $x=0,1,2,3,4$ và đánh dấu các điểm.
• Vẽ parabol đi qua các điểm, đối xứng qua đường thẳng $x=2$.
• Kiểm chứng bằng NeoEdu hoặc GeoGebra: bật chế độ vẽ đồ thị và so sánh với hình đã vẽ tay.

Kết quả HS đạt được:

• Bảng giá trị: $x=0\to y=3$; $x=1\to y=0$; $x=2\to y=-1$; $x=3\to y=0$; $x=4\to y=3$.
• Giao điểm với $Oy$ là $(0;3)$; giao điểm với $Ox$ là $(1;0)$ và $(3;0)$, tương ứng với hai nghiệm $x=1$, $x=3$ của $x^2-4x+3=0$ vì $(x-1)(x-3)=0$.
• Đồ thị là parabol mở lên, đỉnh $(2;-1)$, đối xứng qua $x=2$; các điểm $(1;0)$ và $(3;0)$ đối xứng nhau qua $x=2$.
• Kiến thức rút ra: parabol cắt $Oy$ tại $(0;c)$; cắt $Ox$ tại các điểm có hoành độ là nghiệm của $ax^2+bx+c=0$ nếu phương trình có nghiệm; đồ thị đối xứng qua trục.

HS củng cố kiến thức về trục đối xứng, đỉnh, nghiệm, chiều bề lõm và xác định hàm bậc hai từ các điểm cho trước.

Phần A (cá nhân, 10 phút): HS làm các câu 1 đến 6 trên trang bài học NeoEdu hoặc trên giấy:

• Câu 1: trục đối xứng của $y=ax^2+bx+c$ với $a\neq 0$.
• Câu 2: hoành độ đỉnh của $y=x^2-4x+3$.
• Câu 3: giá trị nhỏ nhất của $x^2-4x+3$ trên $\mathbb{R}$.
• Câu 4: nhận định “$a<0$ thì parabol mở lên và có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$”.
• Câu 5: nghiệm của $x^2-4x+3=0$.
• Câu 6: đỉnh của $y=-(x+1)^2+4$.

Phần B (nhóm 4, 10 phút): Hoàn thành Phiếu học tập số 2, câu 7: xác định hàm bậc hai đi qua $(0;3)$, $(1;0)$, $(3;0)$, rồi đối chiếu đỉnh và giao điểm với trục.

Đề và đáp án:

• Câu 1: B, $x=-\dfrac{b}{2a}$ (hoàn thành bình phương cho hoành độ đỉnh).
• Câu 2: $2$, vì $-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2$.
• Câu 3: $-1$, vì $(x-2)^2-1\ge -1$, đạt khi $x=2$.
• Câu 4: Sai; với $a<0$ parabol mở xuống và có giá trị lớn nhất tại đỉnh, không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$.
• Câu 5: B, $1$ và $3$, vì $(x-1)(x-3)=0$.
• Câu 6: B, $(-1;4)$, vì $x+1=0$ khi $x=-1$ và giá trị là $4$.
• Câu 7: Hai nghiệm là $1$ và $3$ nên $y=a(x-1)(x-3)$; từ $(0;3)$ suy ra $3a=3$, $a=1$. Vậy $y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$, đỉnh $(2;-1)$, trục $x=2$, giao $Oy$ tại $(0;3)$. Kiểm tra ba điểm đều đúng.

HS vận dụng hàm bậc hai để giải bài toán thực tế, biết đối chiếu kết quả với miền biến và đánh giá giới hạn của mô hình.

Nhóm 4 giải bài toán với mô hình $h(t)=-t^2+6t+1$:

• Tìm độ cao lớn nhất và thời điểm đạt được trên $0\le t\le 6$; giải thích không dùng đạo hàm.
• Kiểm tra $h(0)$ và $h(6)$ để đối chiếu với miền.
• Nếu chỉ xét khoảng $0\le t\le 2$, tìm giá trị lớn nhất của $h$ và giải thích vì sao không lấy đỉnh $t=3$.
• Nêu một điều kiện mà mô hình có thể không còn đúng khi áp dụng vào thực tế.

Lời giải dự kiến:

• $h(t)=10-(t-3)^2\le 10$ với mọi $t$, dấu bằng khi $t=3$; vì $3$ thuộc $[0;6]$ nên độ cao lớn nhất là $10$ m tại $t=3$ s.
• $h(0)=1$ m, $h(6)=1$ m, nhỏ hơn $10$ m nên đối chiếu đúng.
• Với $0\le t\le 2$: đỉnh $t=3$ nằm ngoài miền, hàm đồng biến trên $[0;2]$ vì $3>2$; giá trị lớn nhất là $h(2)=9$ m tại $t=2$ s.
• Điều kiện: mô hình chỉ đúng trong khoảng thời gian đã cho và khi các yếu tố khác không đổi; không ngoại suy ngoài $0\le t\le 6$.