Giáo án Bài 15. Hàm số

HS nhận ra một quan hệ giữa hai đại lượng có thể không phải là hàm số, từ đó hình thành nhu cầu cần một quy tắc gán mỗi $x$ đúng một $y$.

GV ghi lên bảng bảng dữ liệu gồm ba cặp $(x;y)$: $(1;2)$, $(2;4)$, $(1;3)$. HS trả lời câu hỏi: “Mỗi giá trị $x$ có tương ứng với đúng một giá trị $y$ không? Có thể dùng một công thức duy nhất để tính $y$ từ $x$ không?” Sau đó HS trả lời tiếp: “Nếu quy tắc gán là $f(x)=2x$ thì $f(1)$, $f(2)$ bằng bao nhiêu?”

HS nhận ra $x=1$ được ghi với hai giá trị $y$ là $2$ và $3$, nên bảng này không xác định được hàm số $y$ theo $x$. HS viết được $f(1)=2$, $f(2)=4$ theo quy tắc $f(x)=2x$. Kết luận ban đầu: để có hàm số, mỗi $x$ trong tập xác định phải tương ứng với đúng một $y$.

HS nêu được định nghĩa hàm số và nhận biết được bốn cách cho hàm số: bảng, đồ thị, công thức, từng khoảng.

Nhóm 4 HS sử dụng khăn trải bàn gồm 4 ô (bảng, đồ thị, công thức, từng khoảng) và 1 ô ở giữa để ghi định nghĩa chung. Mỗi nhóm cử một thành viên đại diện cho một ô, ghi ví dụ minh hoạ và giải thích cách nhận biết tính đơn trị. Ví dụ gợi ý: bảng dữ liệu $(1;2)$, $(2;4)$, $(1;3)$ không phải hàm số; công thức $f(x)=x^2-2x$; đồ thị của $y=x^2$ là tập điểm $(x;x^2)$; cách cho từng khoảng là mô hình phí ở hoạt động luyện tập 2. GV câu hỏi: “Đồ thị của một hàm số có đặc điểm gì khi kẻ đường thẳng đứng?”

• Định nghĩa: Hàm số từ tập $D$ đến tập số thực là quy tắc gán mỗi $x\in D$ đúng một giá trị $y=f(x)$.
• Bảng: $f(1)=2$ và $f(1)=3$ cùng xuất hiện nên không phải hàm số.
• Công thức: $f(x)=x^2-2x$ cho $f(3)=3^2-2\cdot 3=3$.
• Đồ thị: là tập các điểm $(x;f(x))$; đường thẳng đứng không được cắt đồ thị tại hai điểm có cùng hoành độ $x$ và tung độ khác nhau.
• Từng khoảng: mỗi khoảng của $x$ có một công thức riêng và các khoảng không được trùng nhau.

HS xác định được tập xác định của hàm số dạng căn thức và phân thức, phân biệt tập xác định với tập giá trị, xét được tính đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1, gồm: (1) Tìm $D$ của $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$, tính $f(2)$ và $f(-2)$, giải thích vì sao không tính $f(1)$. (2) Với $g(x)=x^2$: tìm tập xác định, tập giá trị, các khoảng đồng biến và nghịch biến. (3) Trả lời câu hỏi: “Vì sao không thể kết luận $g(x)=x^2$ đồng biến trên cả $\mathbb{R}$ chỉ bằng việc so sánh hai điểm tùy ý?”

• Phiếu học tập số 1, câu 1: Điều kiện $x+2\ge 0$ và $x-1\ne 0$, nên $D=[-2;+\infty)\setminus\{1\}$. $f(2)=\dfrac{\sqrt{4}}{1}=2$; $f(-2)=\dfrac{0}{-3}=0$. Không tính $f(1)$ vì $1\notin D$.
• Phiếu học tập số 1, câu 2: $D=\mathbb{R}$; tập giá trị $[0;+\infty)$; $g$ nghịch biến trên $(-\infty;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty)$.
• Phiếu học tập số 1, câu 3: Tính đơn điệu phải xét trên từng khoảng của miền; trên $\mathbb{R}$ hàm số không đơn điệu vì có khoảng giá trị giảm và khoảng giá trị tăng.
• Kiến thức rút ra: $D$ là tập đầu vào được phép, tập giá trị là tập đầu ra thực sự có; hai tập này không đồng nhất.

HS vận dụng định nghĩa, điều kiện xác định, tính giá trị và tính đơn điệu để trả lời nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.

HS làm 6 câu trắc nghiệm trên bài tập tương tác NeoEdu (neoedu.vn/learn/10/math/bai-15-ham-so) hoặc trên bảng phụ, rồi giải thích ngắn đáp án. Đề gồm:

1. Điều kiện quyết định $y$ là hàm số của $x$: A. Mỗi $x$ cho đúng một $y$; B. Mỗi $y$ cho đúng một $x$; C. Luôn có công thức bậc hai; D. $x$, $y$ phải nguyên.
2. Tập xác định của $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$: A. $\mathbb{R}$; B. $\mathbb{R}\setminus\{3\}$; C. $[3;+\infty)$; D. $\{3\}$.
3. Với $f(x)=x^2-2x$, $f(3)$ bằng bao nhiêu?
4. Miền xác định và tập giá trị luôn bằng nhau. Đúng hay sai?
5. Hàm $\sqrt{x-2}$ xác định khi nào: A. $x>2$; B. $x\ge 2$; C. $x\le 2$; D. Mọi $x$.
6. $y=x^2$ nghịch biến trên khoảng nào: A. $(-\infty;0)$; B. $(0;+\infty)$; C. $\mathbb{R}$; D. $(-1;1)$.

Đáp án và lí do:

1. A. Một đầu vào trong miền phải cho duy nhất một đầu ra.
2. B. Mẫu $x-3\ne 0$ nên loại $x=3$.
3. $f(3)=3$, vì $3^2-2\cdot 3=9-6=3$.
4. Sai. $y=x^2$ có $D=\mathbb{R}$ nhưng tập giá trị là $[0;+\infty)$.
5. B. Biểu thức dưới căn chẵn phải không âm, nên $x-2\ge 0$, tức $x\ge 2$.
6. A. Trên khoảng $(-\infty;0)$, khi $x$ tăng thì $x^2$ giảm.

HS viết và kiểm tra hàm số nhiều nhánh có miền xác định, tính giá trị tại ranh giới; giải thích vì sao quan hệ $x=y^2$ không xác định hàm số của $x$ và cách hạn chế để có hàm số.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2:
(1) Cho mô hình phí: $f(x)=10000x$ với $0\le x\le 1$; $f(x)=10000+7000(x-1)$ với $x>1$. Nêu miền xác định, tính $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ và đánh giá giá trị tại ranh giới $x=1$.
(2) Quan hệ $x=y^2$ có cho hàm số $y$ theo $x$ trên $x\ge 0$ không? Nêu phản ví dụ và cách hạn chế để có hàm số.
Lưu ý: mô hình phí chỉ là ví dụ toán học, không phải báo giá dịch vụ thật.

Phiếu học tập số 2, câu 1: $D=[0;+\infty)$. $f(0)=0$; $f(1)=10000$ vì nhánh đầu dùng cho $x=1$; $f(2)=10000+7000\cdot 1=17000$. Tại $x=1$ chỉ gán một giá trị $10000$, vì nhánh sau quy định $x>1$ nên không xét $x=1$ ở nhánh đó.
Phiếu học tập số 2, câu 2: Không. Với $x=1$ thì $y=1$ hoặc $y=-1$ đều thỏa mãn $y^2=1$, nên cùng một đầu vào có hai đầu ra. Hạn chế: thêm điều kiện $y\ge 0$ thì $y=\sqrt{x}$ là hàm số trên $[0;+\infty)$; hoặc thêm $y\le 0$ thì $y=-\sqrt{x}$ là hàm số trên $[0;+\infty)$. Nếu coi $y$ là đầu vào thì $x=y^2$ là hàm số của $y$, nên cần xác định rõ biến đầu vào.

HS vận dụng kiến thức về hàm số nhiều nhánh và miền xác định để mô tả một tình huống thực tế, kiểm tra điều kiện và đánh giá kết quả.

Nhóm 4 HS giả định một bãi gửi xe tính phí: 5000 đồng cho giờ đầu tiên, từ giờ thứ hai trở đi mỗi giờ tính thêm 3000 đồng. Nhóm hãy:
(1) Viết hàm số $f(x)$ là số tiền phải trả với $x$ là số giờ gửi, nêu miền xác định.
(2) Tính $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$.
(3) Nêu một lí do vì sao nên kiểm tra giá trị tại ranh giới $x=1$.
Nhóm ghi rõ giả định của mô hình.

Mô hình gợi ý: $f(x)=5000$ với $0<x\le 1$; $f(x)=5000+3000(x-1)$ với $x>1$. Miền xác định $(0;+\infty)$. $f(1)=5000$; $f(2)=8000$; $f(3)=11000$. Lí do kiểm tra ranh giới: đảm bảo mỗi số giờ chỉ thuộc một nhánh, tránh gán hai mức phí cho cùng một thời điểm. Giả định: số giờ được tính liên tục và không xét làm tròn giờ.