Giáo án Bài tập cuối chương 4

HS nhớ lại khái niệm hướng và độ dài của vectơ, phân biệt vectơ cùng hướng, ngược hướng và xác định được nội dung cần ôn trong tiết học.

GV chiếu hình chữ nhật ABCD với A(0;0), B(6;0), C(0;8), D(6;8) và nêu bốn câu hỏi nhanh: (1) Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có hướng nào và độ dài bằng bao nhiêu? (2) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng hướng không? (3) Vectơ $\overrightarrow{AD}$ có độ dài bằng bao nhiêu? (4) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB}$ có cùng phương không?

HS trả lời được: (1) $\overrightarrow{AB}=(6;0)$, hướng từ A đến B (cùng hướng trục Ox), độ dài $6$. (2) $\overrightarrow{AD}=(6;8)$ và $\overrightarrow{BC}=(-6;8)$ không cùng hướng. (3) $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{6^2+8^2}=10$. (4) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB}$ không cùng phương vì $\overrightarrow{CB}=(6;-8)$ không song song với trục hoành. HS xác định được ba nội dung cần ôn: hướng và độ dài vectơ, các phép toán vectơ, biểu thức tọa độ.

HS hệ thống hoá quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu vectơ và phép nhân vectơ với một số; giải thích được hướng và độ dài của $k\vec{u}$ theo dấu và giá trị của $k$.

Các nhóm hoàn thành Phiếu học tập số 1. Phần A: rút gọn các biểu thức $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$, sau đó kiểm tra lại bằng tọa độ các điểm A, B, C, D. Phần B: cho $\vec{u}\neq\vec{0}$, nêu hướng và độ dài của các vectơ $2\vec{u}$, $-\dfrac{1}{2}\vec{u}$, $-3\vec{u}$.

Phần A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$ (ghép đường đi A→B→C→D). $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, có tọa độ $(6;-8)$, độ dài 10 và khác hướng với $\overrightarrow{AC}$. Phần B: $2\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$, dài gấp đôi; $-\dfrac{1}{2}\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$, độ dài bằng $\dfrac{|\vec{u}|}{2}$; $-3\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$, độ dài gấp ba lần. Kết luận: $|k\vec{u}|=|k|\cdot|\vec{u}|$; dấu của $k$ quyết định hướng, giá trị tuyệt đối của $k$ quyết định độ dài.

HS hệ thống hoá biểu thức tọa độ của trung điểm, trọng tâm và tích vô hướng; nêu được điều kiện vuông góc và giải thích vì sao góc chỉ xác định khi hai vectơ khác $\vec{0}$.

Các nhóm hoàn thành Phiếu học tập số 2. Phần A: với A(0;0), B(6;0), C(0;8), D(6;8), tính $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ và so sánh với $\overrightarrow{AD}$; tính độ dài $\overrightarrow{AD}$; tìm tọa độ trung điểm M của AD; tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác có ba đỉnh $(0;0)$, $(6;0)$, $(0;6)$. Phần B: cho $\vec{u}=(2;3)$, $\vec{v}=(4;-1)$, tính $\vec{u}\cdot\vec{v}$; tìm k để $\vec{u}=(k;1)$ vuông góc với $\vec{v}=(2;-6)$. Nêu lí do không thể gọi kết quả tích vô hướng là số đo góc.

Phần A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(6;8)=\overrightarrow{AD}$; $|\overrightarrow{AD}|=10$; trung điểm $M(3;4)$; trọng tâm $G(2;2)$. Phần B: $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot4+3\cdot(-1)=5$; $\vec{u}\perp\vec{v}$ khi $2k-6=0$, suy ra $k=3$. Kết luận: tích vô hướng là một số thực, không phải góc; góc giữa hai vectơ tính qua $\cos\varphi=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$ và chỉ xác định khi cả hai vectơ khác $\vec{0}$.

HS vận dụng các quy tắc vectơ, phép nhân với một số và tích vô hướng để trả lời các câu hỏi trắc nghiệm; giải thích được lựa chọn của mình.

Các nhóm làm lần lượt các câu 1, 2, 4, 5, 9 của Bài tập cuối chương 4 và nêu lí do lựa chọn đáp án, không chỉ ghi chữ cái. Câu 1: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$ bằng gì? A. $\overrightarrow{AD}$; B. $\overrightarrow{DA}$; C. $\overrightarrow{AC}$; D. $\overrightarrow{BD}$. Câu 2: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ bằng gì? A. $\overrightarrow{AC}$; B. $\overrightarrow{CA}$; C. $\overrightarrow{BC}$; D. $\vec{0}$. Câu 4: $(2;3)\cdot(4;-1)$ bằng bao nhiêu? Câu 5: Nhân $\vec{u}\neq\vec{0}$ với $-\dfrac{1}{2}$ được vectơ như thế nào? A. Cùng hướng, dài gấp 2; B. Ngược hướng, dài bằng $\dfrac{|\vec{u}|}{2}$; C. Ngược hướng, độ dài âm; D. Luôn bằng $\vec{0}$. Câu 9: Góc giữa vectơ $\vec{0}$ và $(1;0)$ là gì? A. $0^\circ$; B. $90^\circ$; C. $180^\circ$; D. Không xác định.

Đáp án: Câu 1: A ($\overrightarrow{AD}$, ghép đường đi A→B→C→D). Câu 2: A ($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$). Câu 4: 5 (vì $2\cdot4+3\cdot(-1)=8-3=5$). Câu 5: B (dấu âm chỉ hướng ngược lại, độ dài là $\dfrac{1}{2}|\vec{u}|$). Câu 9: D (vectơ $\vec{0}$ không có hướng xác định nên không áp dụng được công thức cos). Lỗi thường gặp: chọn C ở câu 5 do nhầm dấu âm với độ dài; chọn B ở câu 9 do coi $\vec{0}$ có góc $90^\circ$.

HS vận dụng công thức trọng tâm, điều kiện cùng phương, điều kiện vuông góc và đánh giá tính đúng sai của mệnh đề bằng phản ví dụ.

Các nhóm làm các câu 3, 6, 7, 8, 10 của Bài tập cuối chương 4. Câu 3: Hai vectơ vuông góc có độ dài 6 và 8, tổng của chúng có độ dài bằng bao nhiêu? Câu 6: Hai vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương khi và chỉ khi định thức tọa độ của chúng bằng 0: đúng hay sai? Câu 7: Trọng tâm của tam giác có ba đỉnh $(0;0)$, $(6;0)$, $(0;6)$ có hoành độ bằng bao nhiêu? Câu 8: Tìm k để $\vec{u}=(k;1)$ và $\vec{v}=(2;-6)$ vuông góc. Câu 10: Mệnh đề $|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|$ luôn đúng: đúng hay sai? Nếu sai, hãy chỉ ra phản ví dụ.

Đáp án: Câu 3: 10, vì $|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}=36+64+0=100$. Câu 6: Đúng, vì hai vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương khi $x_1y_2-x_2y_1=0$. Câu 7: Hoành độ trọng tâm là $\dfrac{0+6+0}{3}=2$. Câu 8: $k=3$, vì $2k-6=0$. Câu 10: Sai; phản ví dụ: $\vec{u}\perp\vec{v}$ với $|\vec{u}|=6$, $|\vec{v}|=8$ thì $|\vec{u}+\vec{v}|=10\neq14$. Đẳng thức $|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|$ chỉ xảy ra khi hai vectơ cùng hướng.

HS vận dụng phép cộng vectơ và tích vô hướng để tính độ lớn hợp lực của hai lực vuông góc trong tình huống thực tế; đối chiếu điều kiện và đánh giá tính hợp lí của kết quả.

Một bạn học sinh kéo một chiếc xe đẩy trên sân trường bằng hai lực: lực $\vec{F}_1$ có độ lớn $6\,\mathrm{N}$ theo phương Đông, lực $\vec{F}_2$ có độ lớn $8\,\mathrm{N}$ theo phương Bắc (hai phương vuông góc). Yêu cầu: (1) Tính độ lớn hợp lực $\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2$. (2) Nếu hai lực cùng hướng thì độ lớn hợp lực là bao nhiêu? Giải thích vì sao kết quả ở câu (1) nhỏ hơn tổng $6+8$. (3) Chọn hệ trục tọa độ, viết tọa độ $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$ và tìm tọa độ $\vec{F}$.

(1) Do $\vec{F}_1\perp\vec{F}_2$ nên $\vec{F}_1\cdot\vec{F}_2=0$, suy ra $|\vec{F}|^2=6^2+8^2=100$, $|\vec{F}|=10\,\mathrm{N}$. (2) Nếu cùng hướng thì $|\vec{F}|=6+8=14\,\mathrm{N}$; trường hợp vuông góc cho 10 N nhỏ hơn 14 N vì hai lực không cùng hướng, phù hợp với $|\vec{u}+\vec{v}|\le|\vec{u}|+|\vec{v}|$. (3) Chọn Ox hướng Đông, Oy hướng Bắc: $\vec{F}_1=(6;0)$, $\vec{F}_2=(0;8)$, $\vec{F}=(6;8)$, $|\vec{F}|=10\,\mathrm{N}$. Kết luận: hợp lực có độ lớn 10 N, hợp lí vì nằm trong khoảng từ $|6-8|=2\,\mathrm{N}$ đến 14 N.