Giáo án Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

HS nhận ra cần có công cụ mới để tính góc giữa hai vectơ khi chỉ biết tọa độ, từ đó xác định nhiệm vụ của bài học.

GV vẽ hai vectơ $\vec{a}=(1;0)$ và $\vec{b}=(-1;1)$ cùng xuất phát từ gốc $O$. HS làm ba việc: (1) dùng thước đo góc đo góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$; (2) tính độ dài $|\vec{a}|$ và $|\vec{b}|$ theo tọa độ; (3) trả lời câu hỏi: “Chỉ dựa vào tọa độ, làm thế nào để tính được góc đó?”

HS ghi được số đo góc đo bằng thước khoảng $135^\circ$, độ dài $|\vec{a}|=1$ và $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, và nêu được nhu cầu cần một đại lượng mới liên hệ tọa độ với góc. Nhiệm vụ học tập: tìm mối liên hệ đó chính là tích vô hướng.

HS nêu được định nghĩa $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$, xác định được dấu của tích vô hướng theo góc, và giải thích được điều kiện vuông góc.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1. Nội dung gồm: (1) đọc định nghĩa trong SGK và trên trang NeoEdu, viết công thức $\vec{u}\cdot\vec{v}$ với $\vec{u},\vec{v}\neq\vec{0}$; (2) xét các trường hợp $\theta=0^\circ$, $\theta=90^\circ$, $\theta=180^\circ$ và điền dấu của tích vô hướng; (3) tính $\vec{u}\cdot\vec{u}$ và so sánh với $|\vec{u}|^2$; (4) trả lời: vì sao khi $\vec{u}$ hoặc $\vec{v}$ bằng $\vec{0}$ thì góc không xác định?

Kết quả HS ghi được: với $\vec{u},\vec{v}\neq\vec{0}$, $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$ với $\theta\in[0^\circ;180^\circ]$. Cùng hướng ($\theta=0^\circ$): $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|>0$. Ngược hướng ($\theta=180^\circ$): $\vec{u}\cdot\vec{v}=-|\vec{u}|\,|\vec{v}|<0$. Vuông góc ($\theta=90^\circ$): $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$. Với mọi $\vec{u}$: $\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2$. Khi $\vec{u}=\vec{0}$, tích vô hướng bằng $0$ nhưng góc không xác định, nên không dùng công thức để tính góc.

HS thiết lập được công thức $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y$, vận dụng được để tính độ dài, góc và khoảng cách, và khai triển được $|\vec{u}+\vec{v}|^2$.

HS làm việc theo nhóm 4 (kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi người viết kết quả của mình vào một ô quanh tờ giấy A3, sau đó thống nhất ô giữa). Nhiệm vụ: (1) cho $\vec{u}=(u_x;u_y)$, $\vec{v}=(v_x;v_y)$, dùng $\vec{u}=u_x\vec{i}+u_y\vec{j}$ và tính chất phân phối để suy ra $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y$; (2) tính $\vec{u}\cdot\vec{v}$ với $\vec{u}=(1;2)$, $\vec{v}=(3;-1)$; (3) chứng minh $|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2$; (4) với $\vec{a}=(1;0)$, $\vec{b}=(-1;1)$, tính $\vec{a}\cdot\vec{b}$, $\cos\theta$ và góc $\theta$.

Công thức: $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y$. Ví dụ: $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot3+2\cdot(-1)=1$. Khai triển: $|\vec{u}+\vec{v}|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2$. Với $\vec{a}=(1;0)$, $\vec{b}=(-1;1)$: $\vec{a}\cdot\vec{b}=-1$, $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{2}$, $\cos\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\theta=135^\circ$, khớp với số đo ở hoạt động mở đầu.

HS củng cố định nghĩa, công thức tọa độ, điều kiện vuông góc và khai triển; biết tự kiểm tra điều kiện định nghĩa góc.

Phần A (cá nhân, trò chơi “Ai nhanh hơn” trên trang bài tập tương tác NeoEdu hoặc bảng phụ): các câu 1 đến 6 của bài tập. Phần B (nhóm 4, Phiếu học tập số 2): các câu 7 và 8, yêu cầu trình bày đầy đủ lập luận và điều kiện.

Đáp án phần A: (1) $\vec{u}\cdot\vec{v}=(1;2)\cdot(3;-1)=1$. (2) B. Vuông góc, vì $\cos\theta=0$ nên $\theta=90^\circ$. (3) C. $135^\circ$, vì $\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. (4) Sai, vì không thể chia cho độ dài $0$; góc với vectơ $\vec{0}$ không xác định. (5) $\vec{u}\cdot\vec{u}=9+16=25=|\vec{u}|^2$, không phải $|\vec{u}|=5$ nếu chỉ nhìn tích. (6) B. $|\vec{u}|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2$. Đáp án phần B: (7) Với $A(1;1)$, $B(5;1)$, $C(1;4)$: $\overrightarrow{AB}=(4;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$, hai vectơ khác $\vec{0}$ nên tam giác vuông tại $A$. $\overrightarrow{BC}=(-4;3)$, $BC=5$; diện tích $S=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot3=6$. Phần chấm gợi ý: 0,3 cho vectơ và tích vô hướng; 0,2 cho điều kiện khác $\vec{0}$; 0,25 cho $BC$; 0,25 cho $S$. (8) $\vec{u}\cdot\vec{v}=3k-12=0$ nên $k=4$. Kiểm tra: $\vec{u}=(4;2)\neq\vec{0}$, $\vec{v}=(3;-6)\neq\vec{0}$ nên góc xác định và bằng $90^\circ$. Phần chấm gợi ý: 0,45 cho phương trình và $k$; 0,35 cho kiểm tra khác $\vec{0}$; 0,2 cho kết luận góc.

HS mô hình hoá tình huống thực tế về đường đi trên bản đồ lưới ô vuông bằng vectơ, dùng tích vô hướng để kiểm tra vuông góc và tính khoảng cách, góc.

Trên bản đồ lưới ô vuông (mỗi ô là 1 đơn vị), cổng trường đặt tại gốc $O(0;0)$, nhà thi đấu đặt tại $P(4;0)$, thư viện đặt tại $Q(4;3)$, căng tin đặt tại $R(0;3)$. HS tính: (1) vectơ $\overrightarrow{OP}$ và $\overrightarrow{OR}$ có vuông góc không? (2) khoảng cách từ thư viện $Q$ đến cổng $O$; (3) góc $\widehat{POQ}$ (làm tròn đến độ). Nhiệm vụ mở rộng: đề xuất một đường đi từ cổng đến thư viện qua căng tin và kiểm tra bằng tích vô hướng.

(1) $\overrightarrow{OP}=(4;0)$, $\overrightarrow{OR}=(0;3)$, $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OR}=0$, nên hai đường vuông góc. (2) $\overrightarrow{OQ}=(4;3)$, $OQ=\sqrt{16+9}=5$ đơn vị. (3) $\cos\widehat{POQ}=\dfrac{4\cdot4+0\cdot3}{4\cdot5}=\dfrac{4}{5}$, suy ra $\widehat{POQ}\approx37^\circ$. Đường qua căng tin: $\overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{RQ}=0\cdot4+3\cdot0=0$, vậy đoạn $RQ$ vuông góc với đoạn $OR$.