Giáo án Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

HS nhận ra có thể mô tả một vectơ bằng cặp số dựa trên độ dịch chuyển theo hai trục tọa độ, từ đó xác định nhiệm vụ học tập của bài.

GV chiếu hệ trục $Oxy$ có lưới ô vuông, đánh dấu điểm $A(1;\ 2)$ và $B(5;\ -1)$. GV hỏi: "Muốn đi từ điểm A đến điểm B, bạn phải đi sang phải hay sang trái bao nhiêu ô, lên hay xuống bao nhiêu ô?" Sau đó GV hỏi tiếp: "Nếu chỉ ghi lại hai con số để mô tả cách đi đó, em sẽ ghi những số nào và theo thứ tự nào?"

HS nêu được: từ $A$ đến $B$ đi sang phải $4$ ô và xuống dưới $3$ ô, nên cách đi được ghi bằng cặp số $(4;\ -3)$, số thứ nhất là độ dịch chuyển theo $Ox$, số thứ hai là độ dịch chuyển theo $Oy$. Từ đó HS xác định nhiệm vụ: học cách viết vectơ bằng tọa độ và tính toán với các tọa độ đó.

HS nêu được tọa độ của vectơ, điều kiện hai vectơ bằng nhau và vận dụng được phép cộng, trừ, nhân số theo từng tọa độ.

HS làm việc theo cặp, đọc phần lý thuyết trong sách và thực hiện Phiếu học tập số 1, câu 1 đến câu 3.
Câu 1: Cho $\vec{u}=(2;\ -3)$ và $\vec{v}=(-1;\ 4)$. Tính $\vec{u}+\vec{v}$.
Câu 2: Với hai vectơ trên, tính $2\vec{u}-\vec{v}$ và giải thích vì sao phải nhân $2$ với từng tọa độ của $\vec{u}$ trước khi trừ.
Câu 3: Cho $\vec{a}=(3;\ k)$ và $\vec{b}=(3;\ -5)$. Hai vectơ bằng nhau khi nào? Nêu điều kiện về tọa độ và tìm $k$.

• Vectơ $\vec{u}=u_x\cdot\vec{i}+u_y\cdot\vec{j}$ được viết là $\vec{u}=(u_x;\ u_y)$.
• Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi $u_x=v_x$ và $u_y=v_y$.
• Quy tắc: $\vec{u}\pm\vec{v}=(u_x\pm v_x;\ u_y\pm v_y)$ và $k\vec{u}=(k\,u_x;\ k\,u_y)$.
• Đáp án câu 1: $\vec{u}+\vec{v}=(2-1;\ -3+4)=(1;\ 1)$.
• Đáp án câu 2: $2\vec{u}=(4;\ -6)$, $2\vec{u}-\vec{v}=(4-(-1);\ -6-4)=(5;\ -10)$. Lưu ý $-6-4=-10$.
• Đáp án câu 3: $\vec{a}=\vec{b}$ khi $3=3$ (luôn đúng) và $k=-5$.

HS nêu được công thức tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$, tính được độ dài vectơ, khoảng cách, tọa độ trung điểm và trọng tâm tam giác.

HS làm việc theo nhóm 4 người theo kỹ thuật mảnh ghép: nhóm chuyên gia, mỗi bạn nghiên cứu một ý. Ý 1: công thức $\overrightarrow{AB}$. Ý 2: độ dài vectơ và khoảng cách. Ý 3: trung điểm và trọng tâm. Ví dụ chung: $A(1;\ 2)$, $B(5;\ -1)$, $C(-3;\ 2)$. Các nhóm điền Phiếu học tập số 1, phần B.
Yêu cầu: tính $\overrightarrow{AB}$, $AB$, tọa độ trung điểm $M$ của $AB$, tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Giải thích vì sao $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.

• Công thức: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)$, không đảo thứ tự điểm.
• $\overrightarrow{AB}=(5-1;\ -1-2)=(4;\ -3)$.
• Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5$, nên khoảng cách $AB=5$.
• Trung điểm: $M=\left(\dfrac{1+5}{2};\ \dfrac{2+(-1)}{2}\right)=\left(3;\ \dfrac{1}{2}\right)$.
• Trọng tâm: $G=\left(\dfrac{1+5-3}{3};\ \dfrac{2-1+2}{3}\right)=(1;\ 1)$.
• Vì $\overrightarrow{BA}=(1-5;\ 2-(-1))=(-4;\ 3)=-\overrightarrow{AB}$, nên hai tọa độ đổi dấu.

HS nêu được điều kiện hai vectơ cùng phương qua định thức $u_xv_y-u_yv_x=0$ và giải thích vì sao nên tránh chia tọa độ khi có tọa độ bằng $0$.

GV đặt vấn đề: "Cho $\vec{u}=(2;\ 4)$ và $\vec{v}=(3;\ k)$. Với giá trị nào của $k$ thì hai vectơ cùng phương?" HS làm việc theo cặp, thực hiện Phiếu học tập số 2, câu 1 và câu 2.
Câu 1: Lập biểu thức $u_xv_y-u_yv_x$ với $\vec{u}=(2;\ 4)$, $\vec{v}=(3;\ k)$, giải phương trình tìm $k$.
Câu 2: Vì sao không nên tìm $k$ bằng cách lập tỉ số $\dfrac{u_y}{v_y}=\dfrac{u_x}{v_x}$ khi một tọa độ có thể bằng $0$? Nêu một ví dụ cụ thể.

• Điều kiện: $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương khi $u_xv_y-u_yv_x=0$.
• Đáp án câu 1: $2k-4\cdot 3=0$, suy ra $2k=12$, do đó $k=6$. Khi đó $\vec{v}=(3;\ 6)$ và $\vec{u}=\dfrac{2}{3}\vec{v}$.
• Đáp án câu 2: Khi có tọa độ bằng $0$, chẳng hạn $\vec{u}=(0;\ 3)$, tỉ số $\dfrac{u_x}{v_x}$ có thể là $\dfrac{0}{m}$, không xác định khi $m=0$. Dùng định thức thì tránh được phép chia cho $0$.

HS củng cố tính tọa độ vectơ, độ dài, trung điểm, trọng tâm và điều kiện cùng phương qua các bài tập đã cho, đồng thời nhận biết lỗi sai thường gặp.

HS làm việc theo nhóm 4 người theo kỹ thuật khăn trải bàn: mỗi HS viết đáp án câu của mình vào ô riêng trên khăn, sau đó thống nhất đáp án chung. Các câu:
Câu 1: $A(1;\ 2)$, $B(5;\ -1)$, $\overrightarrow{AB}$ bằng: A. $(-4;\ 3)$; B. $(4;\ -3)$; C. $(6;\ 1)$; D. $(3;\ 4)$.
Câu 2: Độ dài của vectơ $(4;\ -3)$ bằng bao nhiêu?
Câu 3: $\vec{u}=(2;\ -3)$, $\vec{v}=(-1;\ 4)$, $2\vec{u}-\vec{v}$ bằng: A. $(3;\ -2)$; B. $(5;\ -10)$; C. $(2;\ -7)$; D. $(1;\ 1)$.
Câu 4: Đúng hay sai: tọa độ vectơ $\overrightarrow{BA}$ giống $\overrightarrow{AB}$ với mọi hai điểm khác nhau.
Câu 5: $\vec{u}=(2;\ 4)$, $\vec{v}=(3;\ k)$ cùng phương, tìm $k$.
Câu 6: Trọng tâm tam giác có các đỉnh $(1;\ 2)$, $(5;\ -1)$, $(-3;\ 2)$ là: A. $(3;\ 3)$; B. $(1;\ 1)$; C. $(3;\ 1)$; D. $(1;\ 3)$.

• Câu 1: B. Lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu: $(5-1;\ -1-2)=(4;\ -3)$.
• Câu 2: $5$, vì $\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5$.
• Câu 3: B. $2\vec{u}=(4;\ -6)$, $2\vec{u}-\vec{v}=(4+1;\ -6-4)=(5;\ -10)$.
• Câu 4: Sai. $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ nên hai tọa độ đổi dấu.
• Câu 5: $k=6$, vì $2k-4\cdot 3=0$.
• Câu 6: B. $G=\left(\dfrac{1+5-3}{3};\ \dfrac{2-1+2}{3}\right)=(1;\ 1)$.

HS vận dụng công thức độ dài, trung điểm và điều kiện cùng phương để giải bài toán có tham số, trình bày lập luận đầy đủ và kiểm tra điều kiện của kết quả.

HS làm việc theo cặp, thực hiện Phiếu học tập số 2, phần Luyện tập.
Câu 7: Cho $A(-2;\ 1)$, $B(4;\ 5)$. Tính $\overrightarrow{AB}$, tọa độ trung điểm $M$ của $AB$, độ dài $AB$. Kiểm tra $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$.
Câu 8: Tìm $m$ để $\vec{u}=(0;\ 3)$ và $\vec{v}=(m;\ -2)$ cùng phương. Giải thích vì sao không nên lấy tỉ số tọa độ đầu tiên.

• Câu 7: $\overrightarrow{AB}=(6;\ 4)$; $M=(1;\ 3)$; $AB=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$; $\overrightarrow{MA}=(-3;\ -2)$, $\overrightarrow{MB}=(3;\ 2)$, nên $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$.
  Cách chấm gợi ý: 0,25 điểm cho $\overrightarrow{AB}$; 0,25 điểm cho $M$; 0,25 điểm cho độ dài (chỉ ghi $52$ mà quên căn thì được 0,1 điểm); 0,25 điểm cho cặp vectơ đối.
• Câu 8: $0\cdot(-2)-3m=0$, suy ra $m=0$. Khi đó $\vec{v}=(0;\ -2)=-\dfrac{2}{3}\vec{u}$, hai vectơ cùng phương và ngược hướng. Không lấy tỉ số $\dfrac{0}{m}$ vì phép chia không xác định khi $m=0$.
  Cách chấm gợi ý: 0,4 điểm cho điều kiện và giải $m$; 0,3 điểm cho kiểm tra lại; 0,3 điểm cho lập luận tránh chia cho $0$.

HS vận dụng vectơ trong mặt phẳng tọa độ để mô hình hoá vị trí các địa điểm trên sơ đồ thực tế, tính khoảng cách, tìm trung điểm và trọng tâm, từ đó đề xuất phương án bố trí hợp lý.

GV chiếu sơ đồ lưới khuôn viên trường, mỗi ô vuông tương ứng $10$ m. Cổng trường ở gốc $O(0;\ 0)$, thư viện ở điểm $B(6;\ 8)$, sân bóng ở điểm $C(3;\ -2)$.
Nhiệm vụ nhóm 4 người:

• Tính khoảng cách từ cổng đến thư viện theo mét.
• Tìm tọa độ điểm giữa đoạn nối cổng và thư viện để đặt một ghế đá.
• Tính tọa độ trọng tâm tam giác cổng – thư viện – sân bóng và giải thích ý nghĩa điểm đó.
  Nhóm trình bày kết quả trên bảng nhóm, có kèm lập luận và đơn vị.

• Khoảng cách: $\overrightarrow{OB}=(6;\ 8)$, $|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{6^2+8^2}=10$ ô, tức là $100$ m.
• Điểm giữa: $M=\left(\dfrac{0+6}{2};\ \dfrac{0+8}{2}\right)=(3;\ 4)$, tức là điểm cách đều cổng và thư viện; đặt ghế đá tại vị trí $(3;\ 4)$ theo ô.
• Trọng tâm: $G=\left(\dfrac{0+6+3}{3};\ \dfrac{0+8-2}{3}\right)=(3;\ 2)$. Đây là vị trí cân bằng của ba địa điểm, có thể chọn để đặt biển chỉ dẫn chung.
• Kết luận nhóm cần nêu: kết quả phụ thuộc vào đơn vị (1 ô = 10 m) và vị trí các địa điểm trên sơ đồ, nên chỉ mang tính gần đúng khi áp dụng ngoài thực tế.