Giáo án Bài 9. Tích của một vectơ với một số

HS huy động kiến thức về vectơ, độ dài vectơ và hướng cùng chiều, ngược chiều để dự đoán ý nghĩa của phép nhân vectơ với số thực.

GV vẽ vectơ $\vec{u}$ có độ dài 2 cm, hướng sang phải lên bảng. Yêu cầu HS dự đoán và vẽ: (1) vectơ $2\vec{u}$; (2) vectơ $-3\vec{u}$; (3) vectơ $\dfrac{1}{2}\vec{u}$. Đặt câu hỏi: “Hướng và độ dài của $k\vec{u}$ phụ thuộc vào những yếu tố nào?”

HS dự đoán được: $2\vec{u}$ cùng hướng $\vec{u}$ và dài 4 cm; $-3\vec{u}$ ngược hướng $\vec{u}$ và dài 6 cm; $\dfrac{1}{2}\vec{u}$ cùng hướng $\vec{u}$ và dài 1 cm. Kết luận ban đầu: hướng phụ thuộc dấu của $k$, độ dài phụ thuộc giá trị tuyệt đối của $k$.

HS hình thành định nghĩa $k\vec{u}$, nắm được quy tắc xác định hướng theo dấu của $k$ và công thức độ dài $|k\vec{u}|=|k|\cdot|\vec{u}|$.

HS làm việc nhóm 4 trên khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ: (a) Với $\vec{u}\ne\vec{0}$ và $k>0$, xác định hướng và độ dài của $k\vec{u}$; (b) với $k<0$; (c) với $k=0$; (d) so sánh $|k\vec{u}|$ với $|k|\cdot|\vec{u}|$ và giải thích vì sao phải có dấu trị tuyệt đối. HS tham khảo ví dụ trên trang bài học số NeoEdu để đối chiếu.

Định nghĩa được hình thành: Cho $k$ là số thực và $\vec{u}$ là vectơ. Tích $k\vec{u}$ là một vectơ, ký hiệu $k\vec{u}$, được xác định như sau: nếu $\vec{u}=\vec{0}$ hoặc $k=0$ thì $k\vec{u}=\vec{0}$; nếu $\vec{u}\ne\vec{0}$ và $k>0$ thì $k\vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$; nếu $\vec{u}\ne\vec{0}$ và $k<0$ thì $k\vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$. Độ dài: $|k\vec{u}|=|k|\cdot|\vec{u}|$. Ví dụ: $|-3\vec{u}|=3|\vec{u}|$; khi $|\vec{u}|=2$ thì $|-3\vec{u}|=6$.

HS nắm tính chất phân phối, điều kiện cùng phương và ba điểm thẳng hàng; thiết lập được công thức trung điểm và trọng tâm theo điểm $O$ tùy ý.

Lớp chia thành hai nhóm chuyên sâu theo kỹ thuật mảnh ghép, sau đó ghép nhóm để chia sẻ. Nhóm A: Phiếu học tập số 2, phần 1 (tính chất phân phối; hai vectơ cùng phương; ba điểm thẳng hàng). Nhóm B: Phiếu học tập số 2, phần 2 (trung điểm $M$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ với $O$ tùy ý). Câu hỏi chính: “Vì sao $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ đúng với mọi điểm $O$?” và “Vì sao $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$?”

Nhóm A kết luận: $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ và $(h+k)\vec{u}=h\vec{u}+k\vec{u}$; hai vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương khi có số $k$ để $\vec{v}=k\vec{u}$; ba điểm $A,B,C$ với $A\ne C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$. Nhóm B kết luận: $M$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$; $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ và $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$. Lý do: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}$, và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.

HS củng cố định nghĩa, công thức độ dài và cách chứng minh đẳng thức vectơ với trung điểm và trọng tâm.

HS làm nhanh các bài 1 đến 6 (trắc nghiệm và điền đáp án) trong khoảng 7 phút, sau đó làm bài 7 (chứng minh $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ với $M$ là trung điểm $AB$) trong 8 phút. Đề và đáp án như sau. Bài 1: $\vec{u}\ne\vec{0}$, $k=-2$ thì $k\vec{u}$ có hướng và độ dài nào? A. Cùng hướng, dài $2|\vec{u}|$; B. Ngược hướng, dài $2|\vec{u}|$; C. Ngược hướng, dài $-2|\vec{u}|$; D. Luôn bằng $\vec{0}$. Bài 2: $|\vec{u}|=2$, độ dài của $-3\vec{u}$ bằng bao nhiêu? Bài 3: $M$ là trung điểm $AB$, với $O$ tùy ý, $\overrightarrow{OM}$ bằng: A. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$; B. $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$; C. $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$; D. $2(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$. Bài 4: Với mọi $k$, $|k\vec{u}|=k|\vec{u}|$ đúng hay sai? Bài 5: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ bằng: A. $\overrightarrow{AG}$; B. $\vec{0}$; C. $\overrightarrow{AB}$; D. $\overrightarrow{AC}$. Bài 6: $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}\ne\vec{0}$ và $|\overrightarrow{AC}|=4$ thì $|\overrightarrow{AB}|$ bằng bao nhiêu? Bài 7: Chứng minh $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ và nêu vì sao $O$ ngoài đoạn $AB$ vẫn đúng.

Đáp án: Bài 1: B. Bài 2: 6. Bài 3: B. Bài 4: Sai (chỉ đúng khi $k\ge 0$; quy tắc chung là $|k\vec{u}|=|k|\cdot|\vec{u}|$). Bài 5: B. Bài 6: 12 (cùng hướng, độ dài $3\times 4=12$). Bài 7 (lời giải mẫu): $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}$; cộng lại được $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})=2\overrightarrow{OM}$ vì $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$. Đẳng thức ba điểm $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}$ đúng với mọi $O$, nên không cần giả định $O$ nằm trên đường thẳng $AB$. Thang điểm gợi ý: 0,4 phân tích; 0,35 cặp đối; 0,25 kết luận tổng quát.

HS vận dụng vectơ trung điểm và trọng tâm để giải quyết bài toán thực tế về vị trí đặt thiết bị, đồng thời đánh giá tính hợp lý của kết quả.

Tình huống: Ba trạm phát sóng của một khu dân cư tạo thành tam giác $ABC$ trên bản đồ. Nhà văn hoá đặt tại trung điểm $M$ của đoạn $AB$; đội kỹ thuật muốn đặt bộ điều khiển trung tâm tại trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Nhiệm vụ: (1) Viết $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$; (2) biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$; (3) với một điểm $O$ tùy ý (ví dụ gốc của bản đồ), viết $\overrightarrow{OG}$ qua $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$. Đánh giá: vì sao có thể dùng công thức này để tính vị trí $G$ khi biết tọa độ ba trạm mà không cần vẽ hình chính xác.

Kết quả: (1) $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$; (2) $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$; (3) $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$. Đánh giá: công thức đúng với mọi điểm $O$ nên có thể áp dụng trên bất kỳ hệ quy chiếu nào; kết quả chỉ mô tả vị trí điểm, còn độ chính xác phụ thuộc số liệu đo đạc đầu vào.