Giáo án Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Huy động kinh nghiệm về độ dời, nhận ra rằng hai chặng đi liên tiếp có thể thay bằng một độ dời tương đương; từ đó xác định vấn đề: vectơ tổng của hai vectơ được xây dựng như thế nào.

GV vẽ trên bảng một sơ đồ: một bạn xuất phát từ điểm A, đi đến điểm B rồi đi tiếp đến điểm C. HS trả lời các câu hỏi:

• Câu 1: Nếu bạn đi thẳng từ A đến C, vị trí cuối có khác với đi qua B không?
• Câu 2: Hãy biểu diễn chặng A→B và chặng B→C bằng vectơ. Hai vectơ này nối với nhau như thế nào?
• Câu 3: Vectơ biểu diễn độ dời A→C có quan hệ gì với $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$?
  GV dẫn dắt: 'Ta cần định nghĩa phép cộng hai vectơ sao cho kết quả đúng với cách đi như trên. Đó là nội dung bài học hôm nay.'

HS nêu được: vị trí cuối không đổi vì đi thẳng từ A đến C và đi qua B cùng kết quả; hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ nối đầu–đuôi (điểm cuối của vectơ này là điểm đầu của vectơ kia); độ dời tổng hợp là $\overrightarrow{AC}$. Kết luận sơ bộ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Vấn đề cần giải quyết: khi hai vectơ không nối đầu–đuôi thì tổng được xác định thế nào?

Hình thành quy tắc hình bình hành để cộng hai vectơ có chung điểm đầu; nhận biết tổng vectơ không đồng nhất với tổng độ dài và giải thích được bất đẳng thức $|\vec{u}+\vec{v}|\le|\vec{u}|+|\vec{v}|$.

HS làm việc theo nhóm 4 người với Phiếu học tập số 1, quan sát hình vẽ với $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(0;3)$, $D(4;3)$ và $ABDC$ là hình chữ nhật.
HS thực hiện:

• Nhiệm vụ 1: Tính toạ độ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, rồi tính $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ theo toạ độ. So sánh với toạ độ điểm $D$.
• Nhiệm vụ 2: Tính $|\overrightarrow{AB}|$, $|\overrightarrow{AC}|$, $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$. Nhận xét về mối quan hệ giữa ba độ dài.
• Nhiệm vụ 3: Nêu quy tắc hình bình hành để dựng tổng của hai vectơ có chung điểm đầu.
  Câu hỏi GV đặt ra: 'Tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ có phải là vectơ nối A với đỉnh nào của hình?' và 'Vì sao không được viết $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AC}|$?'

• Toạ độ: $\overrightarrow{AB}=(4;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;3)$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(4;3)=\overrightarrow{AD}$.
• Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=4$, $|\overrightarrow{AC}|=3$, $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$; do $5<4+3=7$ nên $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|\ne|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AC}|$.
• Kiến thức rút ra: Quy tắc hình bình hành: nếu $ABDC$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ với $D$ là đỉnh đối diện với $A$. Tổng vectơ có độ dài $|\vec{u}+\vec{v}|\le|\vec{u}|+|\vec{v}|$, dấu bằng khi hai vectơ cùng hướng; khi $\vec{u}\perp\vec{v}$ thì $|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2}$ (định lí Pythagore).

Hình thành các tính chất của phép cộng vectơ, khái niệm vectơ đối và định nghĩa hiệu; biết dùng chúng để rút gọn biểu thức vectơ.

Kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi nhóm có một tờ giấy A3 chia thành 4 ô: (1) Tính giao hoán và kết hợp; (2) Vectơ không và vectơ đối; (3) Hiệu của hai vectơ; (4) Chu trình ba điểm.
HS dùng ví dụ số để kiểm chứng:

• Ô 1: Với $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(0;3)$, kiểm tra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$.
• Ô 2: Tìm vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ và tính $\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AB})$.
• Ô 3: Tính $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ theo toạ độ, so sánh với $\overrightarrow{CB}$.
• Ô 4: Tính $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$.
  Câu hỏi GV đặt ra: 'Vì sao $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ cũng là vectơ $\overrightarrow{CB}$ mà không phải $\overrightarrow{BC}$?'

• Ô 1: Phép cộng có tính giao hoán $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ và tính kết hợp $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$; cả hai đều có kết quả $(4;3)$.
• Ô 2: Vectơ đối của $\vec{u}$ là $-\vec{u}$ có cùng độ dài, ngược hướng, và $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$; $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$.
• Ô 3: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$; toạ độ $(4;-3)$ trùng toạ độ $\overrightarrow{CB}=B-C=(4;-3)$.
• Ô 4: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$.
• Kiến thức rút ra: Hiệu $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$; với chung điểm đầu $A$ thì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$; phép cộng có tính giao hoán, kết hợp, $\vec{0}$ là phần tử trung hoà; chu trình $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$.

Vận dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất và định nghĩa hiệu để giải các bài tập trắc nghiệm và đúng sai; giải thích được lựa chọn của mình.

HS làm Phiếu học tập số 2 theo cặp đôi. Sau 12 phút, GV tổ chức trò chơi 'Ai đúng?' bằng cách giơ thẻ A/B/C/D hoặc Đ/S. Đề gồm các câu:

• Câu 1: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ bằng gì? A. $\overrightarrow{BA}$; B. $\overrightarrow{CA}$; C. $\overrightarrow{AC}$; D. $\vec{0}$.
• Câu 2: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ bằng gì? A. $\overrightarrow{BC}$; B. $\overrightarrow{CB}$; C. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$; D. $\vec{0}$.
• Câu 3: Hai vectơ $\vec{u}\perp\vec{v}$, $|\vec{u}|=3$, $|\vec{v}|=4$. Tính $|\vec{u}+\vec{v}|$.
• Câu 4: Mệnh đề $|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|$ với mọi vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ là Đúng hay Sai?
• Câu 5: Ghép biểu thức: (a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$; (b) $\vec{u}+\vec{0}$; (c) $\vec{u}+\vec{u}$ với (1) $\vec{0}$, (2) $\vec{u}$, (3) $2\vec{u}$.
• Câu 6: Trong hình bình hành $ABDC$, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ bằng gì? A. $\overrightarrow{BD}$; B. $\overrightarrow{AD}$; C. $\overrightarrow{BC}$; D. $\overrightarrow{CD}$.

Đáp án và lí giải:

• Câu 1: C $\overrightarrow{AC}$ (ghép đầu–đuôi theo đường $A\to B\to C$).
• Câu 2: B $\overrightarrow{CB}$, vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$.
• Câu 3: 5, vì $\sqrt{3^2+4^2}=5$.
• Câu 4: Sai, vì hai vectơ vuông góc độ dài 3 và 4 có tổng độ dài 5, khác $3+4=7$.
• Câu 5: (a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$ nối với (1); (b) $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$ nối với (2); (c) $\vec{u}+\vec{u}=2\vec{u}$ nối với (3).
• Câu 6: B $\overrightarrow{AD}$, vì hai cạnh chung gốc $A$ cộng thành đường chéo $AD$.

Mô hình hoá một chuyển động thực tế bằng tổng các vectơ; phân biệt được độ dời với quãng đường đi và giải thích kết quả bằng kiến thức đã học.

Tình huống: Một robot dọn vệ sinh lớp học xuất phát từ điểm $O$, đi 4 m sang phải rồi đi 3 m lên phía trước. Gọi $\vec{a}$ là vectơ chặng sang phải và $\vec{b}$ là vectơ chặng đi lên. HS trả lời:

• Câu 1: Biểu diễn độ dời tổng hợp của robot bằng vectơ và tính độ dài của nó.
• Câu 2: Nếu robot đi 3 m lên trước rồi mới đi 4 m sang phải thì vectơ độ dời có thay đổi không? Vì sao?
• Câu 3: Quãng đường robot đã đi là bao nhiêu? So sánh với độ dài vectơ độ dời và giải thích sự khác nhau.
  HS làm việc theo nhóm 4 người trong 10 phút, sau đó trình bày trên bảng nhóm.

• Câu 1: Độ dời là $\vec{a}+\vec{b}$ (điểm đầu $O$, điểm cuối cách $O$ là vectơ có toạ độ $(4;3)$ trong hệ trục đặt tại $O$); độ dài $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$ m.
• Câu 2: Không thay đổi, vì phép cộng vectơ có tính giao hoán: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$; vị trí cuối vẫn cách $O$ một vectơ $(4;3)$.
• Câu 3: Quãng đường là $4+3=7$ m, lớn hơn độ dài vectơ độ dời 5 m; sự khác nhau là do đường đi gấp khúc, còn độ dời chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối.
• Kết luận: Độ dời không phải quãng đường; tổng vectơ mô tả độ dời, còn tổng độ dài mô tả quãng đường.