Giáo án Bài tập cuối chương 2

Nhắc lại điều kiện thuộc miền nghiệm và quy tắc lấy hoặc loại biên, làm nền cho các hoạt động sau.

HS làm việc theo cặp đôi, trả lời ba câu hỏi:

• a) Điểm $(2;3)$ có thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\le 7$ không? Vì sao?
• b) Khi biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x+y<5$ có lấy đường thẳng $x+y=5$ không?
• c) Miền nghiệm của hệ gồm nhiều bất phương trình là hợp hay giao của các miền riêng?

• a) Có. Thay vào được $2\cdot 2+3=7\le 7$, điểm nằm trên biên và thuộc miền nghiệm vì dấu là $\le$.
• b) Không. Dấu $<$ không chứa dấu bằng nên đường $x+y=5$ là biên bị loại, vẽ bằng nét đứt.
• c) Là giao: miền nghiệm của hệ là phần đồng thời thỏa mãn mọi bất phương trình.

Vẽ được miền nghiệm của hệ $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 5$, $x+2y\le 6$; xác định được các đỉnh của miền đa giác và kiểm tra lại bằng cách thay tọa độ.

HS làm việc theo nhóm 4 trên khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1:

• Vẽ các đường thẳng $x=0$, $y=0$, $x+y=5$, $x+2y=6$ trên cùng một hệ trục tọa độ, đánh dấu nửa mặt phẳng thỏa mãn từng bất phương trình.
• Xác định phần giao là miền nghiệm của hệ; ghi các đỉnh của miền đa giác.
• Tìm tọa độ giao điểm của $x+y=5$ và $x+2y=6$, kiểm tra bằng cách thay vào hai phương trình.
• Kiểm tra xem điểm $(3;2)$ có thuộc miền nghiệm không.

• Miền nghiệm là miền đa giác có 4 đỉnh: $O(0;0)$, $A(5;0)$, $B(4;1)$, $C(0;3)$.
• Đỉnh $B$ là nghiệm của hệ $x+y=5$, $x+2y=6$: trừ hai phương trình được $y=1$, suy ra $x=4$. Kiểm tra: $4+1=5$ và $4+2\cdot 1=6$.
• Điểm $(3;2)$ không thuộc miền nghiệm vì $3+2\cdot 2=7>6$.
• Kết luận: miền nghiệm của hệ là giao (không phải hợp) của bốn miền riêng; các ràng buộc $x\ge 0$, $y\ge 0$ phải được giữ.

Tính được giá trị của $F=2x+3y$ tại các đỉnh của miền nghiệm, xác định được giá trị lớn nhất và giải thích được vì sao chỉ cần xét các đỉnh.

HS làm việc theo nhóm, dùng kết quả Phiếu học tập số 1 để hoàn thành Phiếu học tập số 2:

• Lập bảng giá trị của $F=2x+3y$ tại các đỉnh $O$, $A$, $B$, $C$.
• Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F$ trên miền nghiệm và điểm đạt được.
• Giải thích vì sao không được bỏ ràng buộc không âm khi xét các đỉnh, và vì sao đổi một dấu của bất phương trình có thể làm kết quả không còn đúng.

• Bảng giá trị: $F(O)=0$; $F(A)=2\cdot 5+3\cdot 0=10$; $F(B)=2\cdot 4+3\cdot 1=11$; $F(C)=2\cdot 0+3\cdot 3=9$.
• Giá trị lớn nhất là $F_{\max}=11$ đạt tại $B(4;1)$; giá trị nhỏ nhất là $F_{\min}=0$ đạt tại $O(0;0)$.
• Giải thích: miền nghiệm là miền đa giác bị chặn nên $F$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại một đỉnh, do đó chỉ cần so sánh các đỉnh; bỏ điều kiện $x\ge 0$, $y\ge 0$ có thể làm xuất hiện điểm ngoài miền có $F$ lớn hơn, nên phải giữ đủ mọi ràng buộc.
• Nếu thay dấu $\le$ bằng dấu $<$ ở một bất phương trình thì biên không thuộc miền, đỉnh đó có thể không đạt được, nên kết luận về giá trị lớn nhất phải xét lại.

Vận dụng được quy tắc thử điểm vào bất phương trình, xác định đúng biên và chiều bất phương trình khi nhân hoặc chia với số âm.

HS làm cá nhân rồi kiểm tra theo nhóm các câu sau (bài tập cuối chương 2):

• Câu 2: Cặp nào thỏa $2x+y\le 7$: A. $(4;0)$; B. $(2;4)$; C. $(2;3)$; D. $(5;-1)$?
• Câu 3: Biểu diễn $x+y<5$ có lấy đường $x+y=5$ không?
• Câu 6: Miền nghiệm của hệ là phép toán nào của các miền riêng: A. Hợp; B. Giao; C. Hiệu; D. Bù?
• Câu 7: Với $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 5$, $x+2y\le 6$, điểm nào nằm ngoài miền: A. $(0;3)$; B. $(4;1)$; C. $(5;0)$; D. $(3;2)$?
• Câu 10: $-3x\ge 6$ tương đương với: A. $x\ge -2$; B. $x\le -2$; C. $x\ge 2$; D. $x\le 2$?
  Sau đó nhóm đối chiếu đáp án và kiểm tra bằng học liệu số NeoEdu.

• Câu 2: C. $(2;3)$, vì $2\cdot 2+3=7$ nằm trên biên và thỏa $\le 7$. Các cặp còn lại: $(4;0)$ cho $8>7$; $(2;4)$ cho $8>7$; $(5;-1)$ cho $9>7$.
• Câu 3: Sai. Dấu $<$ loại biên, không lấy đường $x+y=5$.
• Câu 6: B. Giao, vì miền nghiệm của hệ thỏa đồng thời mọi ràng buộc.
• Câu 7: D. $(3;2)$, vì $3+2\cdot 2=7>6$ không thỏa $x+2y\le 6$.
• Câu 10: B. $x\le -2$, vì chia hai vế cho $-3<0$ thì đổi chiều bất phương trình.

Xác định được tọa độ giao điểm, đếm đúng số đỉnh của miền nghiệm và nhận định đúng, sai về sự tồn tại giá trị lớn nhất.

HS làm theo nhóm các câu sau (bài tập cuối chương 2):

• Câu 4: Giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ có tung độ bằng bao nhiêu?
• Câu 5: Tính $F=2x+3y$ tại $(4;1)$.
• Câu 8: Miền nghiệm của hệ $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 5$, $x+2y\le 6$ có bao nhiêu đỉnh?
• Câu 9: Một bài tối ưu có miền nghiệm không rỗng luôn có giá trị lớn nhất. Đúng hay sai? Vì sao?

• Câu 4: Tung độ bằng $1$, vì $x=4$, $y=1$.
• Câu 5: $F=2\cdot 4+3\cdot 1=11$.
• Câu 8: $4$ đỉnh: $O(0;0)$, $(5;0)$, $(4;1)$, $(0;3)$.
• Câu 9: Sai. Miền nghiệm có thể không bị chặn hoặc có biên mở, khi đó giá trị lớn nhất có thể không tồn tại; cần nêu rõ điều kiện của bài toán.

Mô hình hoá được một tình huống thực tế bằng hệ bất phương trình và biểu thức tối ưu, tìm được phương án tốt nhất và đánh giá tính hợp lý của kết quả.

Một cửa hàng làm hai loại bánh A và B; gọi $x$ là số mẻ bánh A, $y$ là số mẻ bánh B trong một ngày. Các điều kiện:

• Tổng số mẻ làm ra không quá 5 mẻ.
• Tổng thời gian nướng không quá 6 giờ; mỗi mẻ A nướng 1 giờ, mỗi mẻ B nướng 2 giờ.
• Lợi nhuận là $F=2x+3y$ (triệu đồng).
  Nhóm thực hiện: a) Viết hệ bất phương trình mô tả điều kiện; b) Vẽ miền nghiệm và xác định các đỉnh; c) Tìm phương án có lợi nhuận lớn nhất và giải thích vì sao phương án đó hợp lệ; d) Nêu một lí do vì sao không được chọn phương án nằm ngoài miền dù có lợi nhuận cao hơn.

• a) Hệ: $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 5$, $x+2y\le 6$; hàm mục tiêu $F=2x+3y$.
• b) Miền nghiệm có các đỉnh $(0;0)$, $(5;0)$, $(4;1)$, $(0;3)$.
• c) Phương án: $x=4$ mẻ bánh A và $y=1$ mẻ bánh B, lợi nhuận $F=11$ triệu đồng. Phương án này thỏa mọi ràng buộc: $4+1=5$ và $4+2\cdot 1=6$, số mẻ đều là số nguyên không âm.
• d) Phương án $(3;2)$ có $F=12$ nhưng vi phạm $3+2\cdot 2=7>6$, nên không khả thi.