Giáo án Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ0°đến180°

Tạo tình huống mở đầu, giúp HS nhận ra rằng định nghĩa sin, cos qua tam giác vuông không dùng được cho góc tù và cần một mô hình mới.

GV nêu câu hỏi: Trong tam giác vuông, ta định nghĩa $\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$ với $\alpha$ là góc nhọn. Vậy với góc $120^\circ$, ta có thể dựng tam giác vuông có góc $120^\circ$ không? Nếu không, ta cần cách định nghĩa nào khác để áp dụng cho mọi góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$?

HS nhận ra: một tam giác vuông không thể có góc $120^\circ$ (vì tổng hai góc còn lại chỉ bằng $60^\circ$ và phải có một góc $90^\circ$). Do đó cần dùng nửa đường tròn đơn vị: đặt góc $\alpha$ tại gốc O, một cạnh trùng tia Ox, điểm M nằm trên nửa đường tròn, và định nghĩa qua tọa độ của M. Đây là kiến thức sẽ hình thành ở hoạt động tiếp theo.

Hình thành định nghĩa $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ qua tọa độ điểm trên nửa đường tròn đơn vị; nêu được dấu và hệ thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

HS hoạt động theo nhóm 4 (kĩ thuật khăn trải bàn). Nhiệm vụ: (1) Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho góc $\xOM=\alpha$ với $0^\circ\le\alpha\le180^\circ$. Nêu toạ độ của M theo $\alpha$. (2) Điền bảng giá trị vào Phiếu học tập số 1. (3) Nêu dấu của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ với góc nhọn, góc tù, góc $90^\circ$. (4) Dự đoán và kiểm tra hệ thức giữa $\sin^2\alpha$, $\cos^2\alpha$ với bán kính bằng 1.

Kết quả HS ghi được trên khăn trải bàn:

• Định nghĩa: Điểm M có toạ độ $(\cos\alpha;\sin\alpha)$, trong đó $\cos\alpha$ là hoành độ, $\sin\alpha$ là tung độ.
• Dấu: $\sin\alpha\ge0$ với mọi $\alpha$ trong $[0^\circ;180^\circ]$; $\cos\alpha>0$ khi $0^\circ\le\alpha<90^\circ$; $\cos\alpha<0$ khi $90^\circ<\alpha\le180^\circ$; $\cos90^\circ=0$.
• Hệ thức: Vì $OM=1$ nên $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ với mọi $\alpha$ trong miền xét.
• Bảng giá trị: $\sin0^\circ=0$, $\cos0^\circ=1$; $\sin30^\circ=\dfrac{1}{2}$, $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$; $\sin90^\circ=1$, $\cos90^\circ=0$; $\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos120^\circ=-\dfrac{1}{2}$; $\sin150^\circ=\dfrac{1}{2}$, $\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}$; $\sin180^\circ=0$, $\cos180^\circ=-1$.

Hình thành định nghĩa $\tan\alpha$, $\cot\alpha$ kèm điều kiện xác định; nêu được quan hệ của giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ: (1) Viết $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ theo $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ và nêu điều kiện để mỗi tỉ số có nghĩa. (2) Xét các góc $90^\circ$, $0^\circ$, $180^\circ$ và cho biết tỉ số nào không xác định. (3) Tính $\sin(180^\circ-\alpha)$, $\cos(180^\circ-\alpha)$, $\tan(180^\circ-\alpha)$, $\cot(180^\circ-\alpha)$ theo $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, $\cot\alpha$. (4) Tính $\cos120^\circ$, $\tan120^\circ$, $\cot120^\circ$ bằng góc bù $60^\circ$.

Kết quả HS ghi được:

• $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ với điều kiện $\cos\alpha\ne0$, tức $\alpha\ne90^\circ$.
• $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ với điều kiện $\sin\alpha\ne0$, tức $\alpha\ne0^\circ$ và $\alpha\ne180^\circ$.
• Không xác định: $\tan90^\circ$, $\cot0^\circ$, $\cot180^\circ$.
• Góc bù: $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$; $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$; khi đều xác định thì $\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan\alpha$, $\cot(180^\circ-\alpha)=-\cot\alpha$.
• Ví dụ: $\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos120^\circ=-\dfrac{1}{2}$, $\tan120^\circ=-\sqrt3$, $\cot120^\circ=-\dfrac{1}{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Củng cố định nghĩa, dấu, điều kiện xác định và quan hệ góc bù qua các câu hỏi trắc nghiệm.

HS làm cá nhân 6 câu trắc nghiệm (dùng bài tập tương tác trên NeoEdu nếu có). Các câu:

1. $\cos120^\circ$ bằng: A. $\dfrac{1}{2}$; B. $-\dfrac{1}{2}$; C. $\dfrac{\sqrt3}{2}$; D. $-\dfrac{\sqrt3}{2}$.
2. $\tan\alpha$ không xác định khi $\alpha$ bằng: A. $0^\circ$; B. $45^\circ$; C. $90^\circ$; D. $180^\circ$.
3. $\sin90^\circ$ bằng bao nhiêu?
4. Với mọi $\alpha$ trong $[0^\circ;180^\circ]$, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ đúng hay sai?
5. Góc $\alpha$ tù thì $\cos\alpha$ có dấu: A. Dương; B. Âm; C. Bằng 0; D. Không thể biết.
6. $\cot180^\circ$ theo định nghĩa là: A. 0; B. 1; C. $-1$; D. Không xác định.

Đáp án và lí do:

1. B. $\cos120^\circ=-\dfrac{1}{2}$ (góc bù $60^\circ$, cos đổi dấu).
2. C. $\tan90^\circ=\dfrac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}=\dfrac{1}{0}$ không xác định.
3. $\sin90^\circ=1$ (điểm đỉnh có tung độ 1).
4. Đúng (đó là hệ thức của toạ độ điểm trên đường tròn đơn vị).
5. B. Âm (góc tù nằm ở nửa bên trái đường tròn).
6. D. Không xác định vì $\sin180^\circ=0$ làm mẫu của $\cot180^\circ$ bằng 0.

Vận dụng hệ thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, dấu của cos và điều kiện xác định để tính đầy đủ các giá trị lượng giác; phân tích lỗi sai.

Bài 7: Biết $90^\circ<\alpha<180^\circ$ và $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$. Tính $\cos\alpha$, $\tan\alpha$ và kiểm tra lại hệ thức.
Bài 8: Bạn An viết $\tan90^\circ=\dfrac{1}{0}=0$ và $\cot0^\circ=0$. Hãy phân tích lỗi, sửa lại và nêu cách tránh nhầm khi dùng máy tính.
HS làm theo nhóm 2, trình bày lời giải đầy đủ.

Bài 7: $\cos^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$. Vì $90^\circ<\alpha<180^\circ$ nên $\cos\alpha<0$, do đó $\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$. Ta có $\tan\alpha=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}$. Kiểm tra: $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}=1$; $\cos\alpha\ne0$ nên $\tan\alpha$ xác định.
Bài 8: Sai ở hai chỗ. $\tan90^\circ=\dfrac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}=\dfrac{1}{0}$ không xác định, không bằng 0. $\cot0^\circ=\dfrac{\cos0^\circ}{\sin0^\circ}=\dfrac{1}{0}$ không xác định. Phép chia cho 0 không cho kết quả là số 0 hay một số thực cụ thể. Cách tránh: kiểm tra điều kiện mẫu khác 0 trước khi tính; đặt máy ở chế độ DEG; giá trị rất lớn máy hiển thị do xấp xỉ không thay đổi kết luận toán học.

Vận dụng định nghĩa và hệ thức lượng giác để mô tả vị trí điểm trong thực tế và kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

Tình huống: Một cánh tay robot có gốc quay tại O, đầu cánh tay là điểm M chuyển động trên nửa đường tròn trên, bán kính 1 đơn vị. Khi cánh tay tạo với tia Ox một góc $\alpha$ là góc tù và $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ thì:
(1) Tính $\cos\alpha$ và $\tan\alpha$.
(2) Tọa độ đầu cánh tay là gì? Đầu cánh tay nằm ở phía bên phải hay bên trái trục Oy?
(3) Nêu một trường hợp mà cánh tay tạo góc $90^\circ$ và xác định tọa độ, $\tan$ có xác định không?
HS thực hiện cá nhân, sau đó hoàn thiện vào vở; có thể giao về nhà phần mở rộng.

(1) $\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$, $\tan\alpha=-\dfrac{3}{4}$.
(2) Tọa độ đầu cánh tay là $M\left(-\dfrac{4}{5};\dfrac{3}{5}\right)$; M nằm ở phía bên trái trục Oy vì hoành độ âm.
(3) Khi $\alpha=90^\circ$, M có toạ độ $(0;1)$, đầu cánh tay thẳng đứng; $\tan90^\circ$ không xác định nên không có tỉ số này để mô tả.
Kết luận: Mô hình điểm trên nửa đường tròn đơn vị cho phép xác định vị trí cánh tay và kiểm tra dấu của kết quả theo đúng điều kiện đề bài.