Giáo án Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Xác định vấn đề: khi biết hai cạnh và góc xen giữa thì tính được cạnh còn lại như thế nào; từ đó tạo nhu cầu học định lí côsin.

Tình huống: Hai bạn An và Bình cùng xuất phát từ điểm O. An đi thẳng 5 km, Bình đi thẳng 7 km, hai hướng đi tạo với nhau góc $60^\circ$. Hỏi hai bạn cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét?\nHS làm gì: Vẽ hình, đặt tên các điểm O, A, B và nêu hướng suy nghĩ. Câu hỏi GV: Tam giác OAB có vuông không? Có dùng được định lí Pythagoras không? Nếu không, còn công thức nào liên hệ cạnh với góc?

HS nhận ra tam giác OAB không vuông nên không dùng trực tiếp được định lí Pythagoras. Kết quả dự kiến: gọi AB là khoảng cách cần tìm, $AB^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos60^\circ=39$, suy ra $AB=\sqrt{39}\approx6{,}2$ km. Kiến thức HS rút ra: cần một công thức tổng quát liên hệ ba cạnh và một góc cho tam giác bất kì.

Nêu được định lí côsin và các công thức hoán vị; vận dụng được để tính cạnh khi biết hai cạnh và góc xen, và tính côsin của góc khi biết ba cạnh.

Nhiệm vụ theo Phiếu học tập số 1, câu 1 đến câu 3: vẽ tam giác ABC nhọn với đường cao AH kẻ từ A, dùng định lí Pythagoras trong các tam giác vuông AHB, AHC để tìm mối liên hệ giữa $a^2$ với $b$, $c$ và $\cos B$, $\cos C$. Sau đó viết công thức cho $b^2$ và $c^2$ bằng cách hoán vị. Cuối cùng rút ra công thức tính $\cos A$ và kiểm tra với trường hợp $A=90^\circ$ và $A$ tù.

Kiến thức HS rút ra: với tam giác ABC không suy biến, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$; $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$; $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. Hệ quả: $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.\nKiểm tra: nếu $A=90^\circ$ thì $\cos A=0$, công thức trở thành $a^2=b^2+c^2$ (định lí Pythagoras); nếu $A$ tù thì $\cos A<0$ nên $a^2>b^2+c^2$.\nBài toán mở đầu: $AB^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\dfrac{1}{2}=39$, $AB=\sqrt{39}\approx6{,}2$ km.

Nêu được định lí sin và giải thích được ý nghĩa của $2R$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Nhiệm vụ theo Phiếu học tập số 1, câu 4: với tam giác vuông có a = 5, b = 3, c = 4 (góc A = 90°), tính các tỉ số $\dfrac{a}{\sin A}$, $\dfrac{b}{\sin B}$, $\dfrac{c}{\sin C}$. Nhận xét kết quả và so sánh với bán kính ngoại tiếp R của tam giác vuông (cạnh huyền là đường kính đường tròn ngoại tiếp).

Kết quả: $\sin A=1$, $\dfrac{a}{\sin A}=5$; $\sin B=\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{b}{\sin B}=5$; $\sin C=\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{c}{\sin C}=5$. Ba tỉ số bằng nhau và bằng 5.\nKiến thức HS rút ra: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ở tam giác vuông này $2R=5$ nên $R=\dfrac{5}{2}$, khớp với cạnh huyền là đường kính.

Nêu được các công thức tính diện tích tam giác; vận dụng để tính diện tích, đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác cụ thể.

Nhiệm vụ theo Phiếu học tập số 1, câu 5 đến câu 7: với tam giác có ba cạnh 3, 4, 5 và góc A = 90°, tính diện tích S theo các cách: $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$; $S=\dfrac{1}{2}ah_a$ (tính $h_a$ từ đó); công thức Heron với nửa chu vi $p=\dfrac{a+b+c}{2}$; và $S=pr$ để tìm bán kính đường tròn nội tiếp r.

Kết quả: $S=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot1=6$; $h_a=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{12}{5}$ (tức $2{,}4$); $p=\dfrac{3+4+5}{2}=6$; Heron: $\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}=\sqrt{36}=6$; $r=\dfrac{S}{p}=1$.\nKiến thức HS rút ra: $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ah_a=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, với p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp.

Củng cố kiến thức về định lí côsin, định lí sin và các công thức diện tích qua các câu trắc nghiệm và câu hỏi ngắn.

HS làm các câu sau (có thể thực hiện trên trang bài tập tương tác NeoEdu): (1) Định lí côsin với a đối diện A là gì? A. $a^2=b^2+c^2+2bc\cos A$; B. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$; C. $a=b+c$; D. $a^2=b^2-c^2$. (2) Tam giác 3, 4, 5 có diện tích bao nhiêu? (3) Tam giác 3, 4, 5 có nửa chu vi bao nhiêu? (4) Hai cạnh 5 và 7, góc xen giữa $60^\circ$, bình phương cạnh còn lại bằng bao nhiêu? A. 39; B. 74; C. 109; D. 4. (5) Ba số 2, 3, 6 có là độ dài ba cạnh một tam giác không suy biến không? (6) Trong định lí sin, $\dfrac{a}{\sin A}$ bằng gì? A. R; B. 2R; C. r; D. 2r.

Đáp án: (1) B; (2) 6; (3) 6; (4) A, vì $25+49-2\cdot5\cdot7\cdot\dfrac{1}{2}=39$; (5) Sai, vì $2+3=5<6$ không thoả bất đẳng thức tam giác; (6) B, vì $\dfrac{a}{\sin A}=2R$.\nHS tự chấm và ghi lại câu sai cùng lí do.

Vận dụng định lí sin để xét số tam giác khi biết hai cạnh và góc không xen; giải thích được vì sao không được chỉ lấy một góc nhọn từ máy tính.

Nhiệm vụ theo Phiếu học tập số 2: cho a = 5, b = 8, $A=30^\circ$. Dùng định lí sin để tìm $\sin B$, xác định các giá trị góc B và góc C (làm tròn đến $0{,}1^\circ$), kiểm tra điều kiện góc của tam giác và kết luận số tam giác có thể.

Kết quả: $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{8\cdot0{,}5}{5}=0{,}8$. Khi đó $B\approx53{,}1^\circ$ hoặc $B\approx126{,}9^\circ$.\nVới $B\approx53{,}1^\circ$: $C=180^\circ-30^\circ-53{,}1^\circ\approx96{,}9^\circ$ (dương).\nVới $B\approx126{,}9^\circ$: $C=180^\circ-30^\circ-126{,}9^\circ\approx23{,}1^\circ$ (dương).\nKết luận: có hai tam giác thoả mãn đề bài.\nKiến thức HS rút ra: khi biết hai cạnh và góc không xen, có thể có 0, 1 hoặc 2 tam giác; phải kiểm tra cả hai góc bù.

Vận dụng tổng hợp định lí côsin, định lí sin và các công thức diện tích vào một tam giác cụ thể; đối chiếu kết quả và phân biệt đường cao với cạnh tam giác.

Tình huống: tam giác ABC có A(0;0), B(4;0), C(0;3) (xem hình trong trang bài học NeoEdu). Yêu cầu: (a) tính độ dài ba cạnh; (b) tính S, p, R, r và đường cao $h_a$ từ A đến BC; (c) nêu công thức đã dùng và giải thích vì sao kết quả này suy ra từ toạ độ, không phải đo thực tế. Lưu ý: điểm D (nếu có trên hình) chỉ là điểm phụ cho vectơ, không phải cạnh của tam giác ABC.

Kết quả: $AB=4$, $AC=3$, $BC=5$; $S=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=6$; $p=6$; $R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{5}{2}$ (vì $A=90^\circ$); $r=\dfrac{S}{p}=1$; $h_a=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{12}{5}$, tức $2{,}4$.\nNhận xét: các kết quả suy ra từ toạ độ và công thức, không phải số đo thực tế nên không có sai số đo đạc. Đường cao từ A đến BC bằng $\dfrac{12}{5}$, nhỏ hơn cả hai cạnh góc vuông, phù hợp với tam giác vuông.