Giáo án Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Gợi nhớ cách thử một điểm vào bất phương trình bậc nhất hai ẩn; nhận ra một cặp số chỉ là nghiệm khi thỏa đồng thời mọi điều kiện, từ đó xác định vấn đề của bài học.

GV nêu tình huống: một tổ chuẩn bị quà gồm hai loại, số phần loại I là $x$ và số phần loại II là $y$. Các điều kiện ban đầu là $x \ge 0$ và $x+y \le 6$. HS thử ba cặp số $(1;2)$, $(5;3)$ và $(-1;4)$ vào hai bất phương trình và điền kết quả: thỏa hay không, thỏa điều kiện nào, vi phạm điều kiện nào. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Cặp số nào thỏa cả hai điều kiện? (2) Nếu chỉ thỏa một điều kiện thì có chấp nhận được không? (3) Vì sao cần xét các điều kiện cùng lúc?

• Cặp $(1;2)$: $x = 1 \ge 0$ đúng; $x+y = 3 \le 6$ đúng; thỏa cả hai điều kiện nên là nghiệm của hệ.
• Cặp $(5;3)$: $x = 5 \ge 0$ đúng nhưng $x+y = 8 > 6$ sai; vi phạm điều kiện thứ hai nên không là nghiệm.
• Cặp $(-1;4)$: $x+y = 3 \le 6$ đúng nhưng $x = -1 < 0$ sai; không là nghiệm.
• Kết luận HS rút ra: nghiệm của hệ phải thỏa đồng thời tất cả các bất phương trình; chỉ thỏa một phần là chưa đủ.

Nêu được khái niệm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn; xác định được đường biên, phía cần lấy và việc lấy hay không lấy biên; giải thích được miền nghiệm là giao các nửa mặt phẳng và xác định được các đỉnh của miền.

Nhóm 4 HS hoàn thành Phiếu học tập số 1 với hệ (I): $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y \le 6$, $x+2y \le 8$. Các nhiệm vụ: (a) Với mỗi bất phương trình, vẽ đường biên, thử điểm $O(0;0)$ để xác định nửa mặt phẳng nghiệm và tô phía đó. (b) Xác định phía nào của các đường biên được lấy và các đường biên có thuộc miền không. (c) Giải hệ $x+y=6$ và $x+2y=8$ để tìm giao điểm. (d) Liệt kê các đỉnh của miền nghiệm và nêu hình dạng miền. Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao $O(0;0)$ là điểm thử thuận lợi? Điểm $(6;0)$ có thuộc miền không? Vì sao miền nghiệm là giao chứ không phải hợp?

• Đường biên và phía nghiệm: $x = 0$ là trục $Oy$, miền có $x \ge 0$; $y = 0$ là trục $Ox$, miền có $y \ge 0$; $x+y = 6$ đi qua $(6;0)$ và $(0;6)$, thử $O$ thấy $0 \le 6$ đúng nên lấy phía chứa $O$; $x+2y = 8$ đi qua $(8;0)$ và $(0;4)$, thử $O$ đúng nên lấy phía chứa $O$.
• Các đường biên đều thuộc miền vì bất phương trình có dấu $\ge$ hoặc $\le$.
• Giao điểm của $x+y = 6$ và $x+2y = 8$: trừ vế theo vế được $y = 2$, suy ra $x = 4$, tức $B(4;2)$.
• Miền nghiệm là tứ giác kín $OABC$ với $O(0;0)$, $A(6;0)$, $B(4;2)$, $C(0;4)$.
• Kết luận: miền nghiệm của hệ là giao của bốn nửa mặt phẳng, là đa giác lồi kín và bị chặn; điểm $(6;0)$ là nghiệm vì thỏa cả bốn điều kiện: $6 + 0 = 6 \le 6$ và $6 \le 8$.

Vận dụng được việc tính giá trị của biểu thức $F = ax + by$ tại các đỉnh để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền nghiệm là đa giác lồi kín, bị chặn; nhận biết khi nào cực trị đạt tại nhiều điểm trên một cạnh và khi nào cần điều kiện nguyên.

Trên miền nghiệm của hệ (I) ở hoạt động trước, các nhóm tính giá trị của $F = 3x + 4y$ tại từng đỉnh $O$, $A$, $B$, $C$ và so sánh. Sau đó các nhóm thử biểu thức $G = x + y$ để xem có nhiều điểm cùng đạt giá trị lớn nhất hay không. Các nhiệm vụ: (a) Lập bảng giá trị của $F$ tại bốn đỉnh. (b) Kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và điểm đạt được. (c) Với $G = x + y$, xác định các điểm đạt giá trị lớn nhất. (d) Nêu điều kiện cần kiểm tra khi các biến phải là số nguyên. Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao chỉ cần xét các đỉnh? Khi nào có vô số điểm cùng đạt cực trị? Nếu $x$, $y$ là số lượng thì cần thêm điều kiện gì?

• Bảng giá trị của $F = 3x + 4y$: tại $O(0;0)$, $F = 0$; tại $A(6;0)$, $F = 18$; tại $B(4;2)$, $F = 20$; tại $C(0;4)$, $F = 16$.
• Kết luận: giá trị lớn nhất của $F$ trên miền là $20$, đạt tại $B(4;2)$; giá trị nhỏ nhất là $0$, đạt tại $O(0;0)$.
• Với $G = x + y$: tại $O$, $G = 0$; tại $A$, $G = 6$; tại $B$, $G = 6$; tại $C$, $G = 4$. Giá trị lớn nhất $6$ đạt trên cả đoạn $AB$, không duy nhất.
• Lý do chỉ cần xét đỉnh: miền là đa giác lồi kín, bị chặn và không rỗng; hàm tuyến tính đạt cực trị tại ít nhất một đỉnh; có thể có nhiều điểm cùng đạt trên cạnh.
• Lưu ý: nếu $x$, $y$ là số lượng thì chỉ xét các điểm có tọa độ nguyên trong miền; với miền mở hoặc không bị chặn thì không được kết luận vội.

Củng cố cách kiểm tra điểm có là nghiệm của hệ, cách tìm giao điểm của hai đường biên và nhận biết đúng sai về tính chất cực trị trên đa giác.

HS làm bài trắc nghiệm nhanh trên bảng con, dùng hệ (I): $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y \le 6$, $x+2y \le 8$. Các câu: (1) Nghiệm của hệ là gì? A. Thỏa ít nhất một điều kiện; B. Thỏa đồng thời mọi điều kiện; C. Chỉ thuộc đường đầu; D. Chỉ $x \ge 0$. (2) Điểm nào thuộc hệ (I)? A. $(5;2)$; B. $(4;3)$; C. $(4;2)$; D. $(-1;1)$. (3) Giải $x+y = 6$, $x+2y = 8$ và cho biết tung độ giao điểm. (4) Đúng hay sai: cực đại của hàm tuyến tính trên đa giác luôn chỉ đạt duy nhất một điểm? (5) Muốn áp dụng cực trị theo đỉnh cần kiểm điều kiện nào? A. Chỉ cần miền không rỗng, dù biên mở và mục tiêu không bị chặn; B. Miền khả thi là đa giác lồi kín, bị chặn, không rỗng và hàm mục tiêu tuyến tính; C. Chỉ cần mục tiêu bậc hai; D. Chọn một giao điểm bất kỳ rồi bỏ các ràng buộc khác.

• Câu 1: đáp án B. Nghiệm của hệ là cặp số thỏa đồng thời mọi bất phương trình của hệ.
• Câu 2: đáp án C. Điểm $(4;2)$: $4 \ge 0$, $2 \ge 0$, $4+2 = 6 \le 6$, $4+2 \times 2 = 8 \le 8$, thỏa đủ mọi điều kiện; $(5;2)$, $(4;3)$, $(-1;1)$ đều vi phạm.
• Câu 3: đáp án $2$. Trừ hai phương trình: $y = 2$, thay vào $x+y = 6$ được $x = 4$.
• Câu 4: Sai. Có thể hàm không đổi trên cạnh; ví dụ $G = x + y$ đạt $6$ trên cả đoạn $AB$.
• Câu 5: đáp án B. Miền khả thi là đa giác lồi kín, bị chặn và không rỗng; hàm mục tiêu là tuyến tính.

Vận dụng quy trình liệt kê đỉnh, tính giá trị biểu thức, kết luận cực trị và đánh giá tính khả thi của một điểm nằm ngoài miền nghiệm.

Nhóm 2 HS giải hai bài trên cùng hệ (I), dùng Phiếu học tập số 2 làm căn cứ ghi chép: (a) Từ miền nghiệm đã vẽ, liệt kê đỉnh và tìm giá trị lớn nhất của $F = 3x + 4y$, kiểm tra điều kiện tại điểm đạt giá trị lớn nhất. (b) Tìm giá trị lớn nhất của $H = 5x + 2y$ trên miền nghiệm và đánh giá phương án $(5;2)$ có khả thi không, dù giá trị $H$ tại điểm này là $29$.

• Bài (a): các đỉnh $O(0;0)$, $A(6;0)$, $B(4;2)$, $C(0;4)$; $F$ lần lượt là $0$, $18$, $20$, $16$; $\max F = 20$ tại $B(4;2)$. Kiểm tra: $4 \ge 0$, $2 \ge 0$, $4+2 = 6 \le 6$, $4+2 \times 2 = 8 \le 8$.
• Bài (b): giá trị $H$ tại $O$ là $0$, tại $A$ là $30$, tại $B$ là $5 \times 4 + 2 \times 2 = 24$, tại $C$ là $8$; $\max H = 30$ tại $A(6;0)$.
• Đánh giá $(5;2)$: điểm này không thuộc miền nghiệm vì $5+2 = 7 > 6$ và $5+2 \times 2 = 9 > 8$. Dù $H(5;2) = 29$ gần $30$ nhưng không được chọn vì không khả thi; không so sánh giá trị của điểm ngoài miền như một phương án hợp lệ.

Vận dụng mô hình hoá để chuyển tình huống thực tế thành hệ bất phương trình và hàm mục tiêu, tìm phương án tối ưu và giải thích được ý nghĩa của kết quả trong bối cảnh cụ thể.

Một tổ học sinh chuẩn bị quà dịp cuối năm, đóng gói hai loại: loại I gồm $x$ phần, loại II gồm $y$ phần. Mỗi phần loại I cần 1 hộp bánh; mỗi phần loại II cần 2 hộp bánh; tổ có tối đa 8 hộp bánh. Mỗi phần cần một túi và tổng số túi không vượt quá 6. Lợi nhuận mỗi phần loại I là 3 nghìn đồng, loại II là 4 nghìn đồng. Các nhiệm vụ: (a) Viết hệ bất phương trình biểu diễn các điều kiện. (b) Viết hàm lợi nhuận $F$ theo $x$, $y$ (đơn vị nghìn đồng). (c) Tìm số phần mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất; kiểm tra số phần phải là số nguyên. (d) Nêu ý nghĩa thực tế của kết quả và một hạn chế của mô hình.

• Hệ: $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y \le 6$, $x+2y \le 8$.
• Hàm lợi nhuận: $F = 3x + 4y$ (nghìn đồng).
• Phương án tối ưu: $\max F = 20$ nghìn đồng, đạt tại $B(4;2)$, tức 4 phần loại I và 2 phần loại II; tọa độ đều là số nguyên nên phương án này khả thi.
• Ý nghĩa: với số hộp bánh và số túi như trên, tổ nên làm 4 phần loại I và 2 phần loại II để có lợi nhuận cao nhất.
• Hạn chế: mô hình chỉ xét các ràng buộc đã nêu; nếu có thêm điều kiện về thời gian hay ngân sách thì cần bổ sung bất phương trình tương ứng.