Giáo án Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HS nhận biết được dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn và bước đầu kiểm tra một cặp số có là nghiệm hay không, từ đó xác định vấn đề cần học.

GV trình chiếu 4 bất phương trình: (1) $x+2y\le 8$; (2) $x^2+y\le 1$; (3) $xy\le 2$; (4) $2x-3y>4$. HS làm việc cá nhân trong 3 phút để chọn những bất phương trình bậc nhất hai ẩn, sau đó kiểm tra cặp $(2;3)$ có thỏa mãn bất phương trình (1) và bất phương trình $x+2y<8$ hay không. GV đặt câu hỏi: "Vì sao cặp $(2;3)$ thỏa mãn $\le$ nhưng không thỏa mãn $<$?"

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn: (1) và (4). Bất phương trình (2) có $x^2$, (3) có tích $xy$ nên không phải.
• Cặp $(2;3)$: $2+2\cdot 3=8$; $8\le 8$ đúng nên thỏa mãn (1); $8<8$ sai nên không thỏa mãn $x+2y<8$.
• Kết luận ban đầu: nghiệm phụ thuộc cả dấu bất đẳng thức lẫn việc có lấy đường biên hay không.

HS nêu được định nghĩa, nhận biết dạng bậc nhất hai ẩn và kiểm tra được nghiệm bằng cách thay cả cặp số vào bất phương trình.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Các em hoàn thành câu 1 (nhận dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn), câu 2 (tìm cặp thỏa mãn $x+2y<8$), câu 3 (tính $x+2y$ tại $(3;2)$) và câu 4 (nhận xét về điểm nằm trên đường biên khi dấu là $\le$). GV hướng dẫn các cặp đôi đối chiếu kết quả bằng cách thay số và ghi lại từng bước.

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $2x-3y>4$ (đáp án C). Các lựa chọn khác có $x^2$, tích $xy$ hoặc nghịch đảo $\dfrac{1}{x}$ nên không phải bậc nhất.
• Nghiệm của $x+2y<8$: cặp $(2;2)$ (đáp án C), vì $2+2\cdot 2=6<8$. Ba cặp còn lại đều cho kết quả bằng $8$ nên không thỏa mãn dấu $<$.
• Tại $(3;2)$: $x+2y=3+2\cdot 2=7$.
• Dấu $\le$ (và $\ge$) cho phép điểm thuộc đường biên được tính là nghiệm; dấu $<$, $>$ không lấy đường biên.
• Kiến thức HS rút ra: nghiệm là cặp $(x; y)$ thay vào bất phương trình cho kết quả đúng; kiểm tra phải thay cả $x$ và $y$.

HS vẽ được đường biên, chọn đúng phía nghiệm bằng điểm thử không thuộc đường biên, xác định được đường biên liền nét hay đứt nét và giải thích được các trường hợp đặc biệt.

HS làm việc theo nhóm 4 theo kỹ thuật khăn trải bàn. Khăn chia 3 ô quanh cạnh (mỗi thành viên phụ trách một ô là một bất phương trình) và một ô trung tâm để ghi quy tắc chung. Các bất phương trình: (a) $x+2y\le 8$; (b) $2x+y\ge 4$; (c) $2x-y>0$. HS hoàn thành Phiếu học tập số 2, vẽ hệ trục, đường biên, chọn điểm thử và tô phía nghiệm. Sau đó nhóm thảo luận câu 8 về $x+y\ge 3$ và $x+y>3$.

• Ô (a) $x+2y\le 8$: đường biên $x+2y=8$ đi qua $(8;0)$ và $(0;4)$, vẽ liền nét. Thử $O(0;0)$: $0\le 8$ đúng nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $O$, kể cả đường biên.
• Ô (b) $2x+y\ge 4$: đường biên đi qua $(2;0)$ và $(0;4)$, vẽ liền nét. Thử $O$: $0\ge 4$ sai nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $O$, kể cả đường biên; có thể viết $y\ge 4-2x$.
• Ô (c) $2x-y>0$: đường biên $y=2x$ đi qua $O$, vẽ đứt nét. Không dùng $O$ để thử; chọn $(1;0)$: $2>0$ đúng nên miền nghiệm là $y<2x$, không lấy đường biên.
• Câu 8: $(1;2)$ có $x+y=3$, thỏa mãn $x+y\ge 3$ nhưng không thỏa mãn $x+y>3$; $(2;2)$ có $x+y=4$ thỏa mãn cả hai. Hai bất phương trình có cùng phía đường $x+y=3$, khác nhau ở việc lấy đường biên.
• Quy tắc chung (ô trung tâm): vẽ đường biên; chọn điểm thử không thuộc đường biên; đúng thì tô phía chứa điểm thử; biên liền với $\le$, $\ge$; đứt với $<$, $>$.

HS củng cố nhận dạng bất phương trình, thử nghiệm, đổi chiều dấu và phân biệt điểm biên trong thời gian ngắn.

GV đọc lần lượt 5 câu hỏi (đề bài dưới đây). Mỗi câu HS giơ thẻ đáp án và thử lại bằng phép tính trên giấy nháp. Sau mỗi câu, GV yêu cầu một HS giải thích lựa chọn.
Câu 1: Cặp nào thỏa mãn $x+2y<8$? A. $(2;3)$; B. $(0;4)$; C. $(2;2)$; D. $(8;0)$.
Câu 2: Tại $(3;2)$, giá trị của $x+2y$ là bao nhiêu? A. 5; B. 6; C. 7; D. 8.
Câu 3: Đường $2x-y=0$ đi qua $O$. Chọn điểm thử không nằm trên đường: A. $(0;0)$; B. $(1;2)$; C. $(2;4)$; D. $(1;0)$.
Câu 4: Biến đổi $-2y<6$ thành: A. $y<-3$; B. $y>-3$; C. $y<3$; D. $y>3$.
Câu 5: Dấu $\le$ cho phép điểm trên đường biên. Đúng hay sai?

• Câu 1: đáp án C. Vì $2+2\cdot 2=6<8$; các cặp còn lại đều cho $8$ nên không thỏa mãn dấu $<$.
• Câu 2: đáp án C. Vì $3+2\cdot 2=7$.
• Câu 3: đáp án D. Vì $2\cdot 1-0=2\ne 0$, điểm không nằm trên đường $2x-y=0$; ba điểm còn lại đều thuộc đường này.
• Câu 4: đáp án B. Chia hai vế cho $-2$ (số âm) nên phải đổi chiều: $y>-3$.
• Câu 5: Đúng. Điểm biên làm dấu bằng xảy ra nên thỏa mãn $\le$.
• Kiến thức HS rút ra: thử điểm không thuộc biên; đổi chiều bất đẳng thức khi chia cho số âm.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng bất phương trình bậc nhất hai ẩn, biểu diễn miền nghiệm và chọn phương án phù hợp với điều kiện ngân sách.

Lớp mua $x$ quyển vở giá $5$ nghìn đồng mỗi quyển và $y$ chiếc bút giá $3$ nghìn đồng mỗi chiếc, tổng số tiền không vượt quá $60$ nghìn đồng.
a) Viết bất phương trình biểu thị điều kiện ngân sách và kiểm tra các phương án $(6;10)$, $(8;6)$, $(10;5)$.
b) Vẽ miền nghiệm trong góc phần tư thứ nhất ($x\ge 0$, $y\ge 0$) và nêu hai phương án có số lượng vở và bút đều là số nguyên, có ít nhất 1 quyển vở và 1 chiếc bút.
Phần b có thể giao về nhà, HS dùng trang bài học NeoEdu để kiểm tra lại.

• Bất phương trình: $5x+3y\le 60$.
• Kiểm tra: $(6;10)$: $30+30=60\le 60$, thỏa mãn (phương án nằm trên đường biên). $(8;6)$: $40+18=58\le 60$, thỏa mãn. $(10;5)$: $50+15=65>60$, không thỏa mãn.
• Đường biên $5x+3y=60$ đi qua $(12;0)$ và $(0;20)$, vẽ liền nét; thử $O$: $0\le 60$ đúng nên miền nghiệm là phần chứa $O$ trong góc phần tư thứ nhất, kể cả đường biên.
• Hai phương án mẫu (số nguyên dương): $(6;10)$ và $(8;6)$.
• Kết luận: mô hình toán học giúp đối chiếu nhanh các phương án chi tiêu với ngân sách.