Giáo án Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán

Nhận ra trung bình chưa đủ để mô tả mẫu số liệu, từ đó xác định nhiệm vụ học các số đo độ phân tán.

HS quan sát thời gian chạy 50 m (giây) của 4 bạn đại diện mỗi lớp: Lớp 10A: 7, 8, 8, 9; Lớp 10B: 6, 8, 8, 10. HS trả lời: hai lớp có cùng trung bình không; lớp nào có thời gian đồng đều hơn; vì sao chỉ nhìn trung bình là chưa đủ.

• Cả hai lớp có trung bình $\bar{x} = 8$ giây.
• Lớp 10A đồng đều hơn vì các số liệu gần nhau hơn; lớp 10B có giá trị 6 và 10 lệch xa trung bình hơn.
• Kết luận: trung bình chưa cho biết mức độ phân tán của số liệu, cần một số đo khác để mô tả độ phân tán.

Tính được $R$, $Q_1$, $Q_3$, $\mathrm{IQR}$ và xác định giá trị ngoại lệ theo ngưỡng; hiểu ý nghĩa của hai số đo này.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Mỗi cặp nhận một mẫu: mẫu A: 1, 3, 3, 5; mẫu B: 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 30. Nhiệm vụ: sắp xếp dữ liệu, tính $R = x_{\max} - x_{\min}$, tìm $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, tính $\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$, lập ngưỡng $[Q_1 - 1{,}5\,\mathrm{IQR};\ Q_3 + 1{,}5\,\mathrm{IQR}]$ và kiểm tra xem có giá trị nào vượt ngưỡng không. Câu hỏi GV đặt ra: 'Khi n chẵn hay lẻ, ta chia hai nửa dữ liệu thế nào?'; 'Số 30 có nằm trong ngưỡng không? Điều đó có chứng minh 30 là dữ liệu sai không?'.

Mẫu A (1, 3, 3, 5):

• $R = 5 - 1 = 4$.
• Nửa dưới {1, 3}: $Q_1 = 2$; nửa trên {3, 5}: $Q_3 = 4$.
• $\mathrm{IQR} = 4 - 2 = 2$.

Mẫu B (1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 30):

• $R = 30 - 1 = 29$.
• $Q_2 = 3$ (số thứ 5); bỏ số giữa, nửa dưới {1, 2, 2, 3} có $Q_1 = 2$; nửa trên {4, 4, 5, 30} có $Q_3 = \dfrac{4+5}{2} = 4{,}5$.
• $\mathrm{IQR} = 4{,}5 - 2 = 2{,}5$.
• Ngưỡng: $2 - 1{,}5 \cdot 2{,}5 = -1{,}75$ và $4{,}5 + 1{,}5 \cdot 2{,}5 = 8{,}25$; giá trị 30 vượt ngưỡng nên được đánh dấu cần kiểm.
• Kết luận: 30 là cờ cần kiểm tra nguồn, đơn vị, nhập liệu; không chứng minh 30 là sai.

Tính được phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s$ theo công thức chia cho $n$; giải thích ý nghĩa và đơn vị của hai số đo này.

HS làm Phiếu học tập số 2: lập bảng gồm các cột $x_i$, $x_i - \bar{x}$, $(x_i - \bar{x})^2$ cho mẫu 1, 3, 3, 5; tính $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ và $s = \sqrt{s^2}$; kiểm tra lại bằng công thức $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2$. Câu hỏi GV đặt ra: 'Vì sao tổng bình phương lệch của mẫu này chia cho 4 chứ không chia cho 3?'; 'Nếu dữ liệu tính bằng giây thì $s$ và $s^2$ có đơn vị gì?'.

Mẫu 1, 3, 3, 5:

• $\bar{x} = \dfrac{1+3+3+5}{4} = 3$.
• Độ lệch: $-2$, $0$, $0$, $2$; bình phương: $4$, $0$, $0$, $4$; tổng $= 8$.
• $s^2 = \dfrac{8}{4} = 2$; kiểm tra: $\sum x_i^2 = 44$, $\dfrac{44}{4} - 3^2 = 2$.
• $s = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

Kết luận: phương sai chia cho $n$ theo quy ước của bài; $s$ có cùng đơn vị với dữ liệu (giây), còn $s^2$ có đơn vị giây bình phương.

Phát hiện và giải thích quy tắc: cộng hằng số không đổi phương sai; nhân $k$ làm phương sai nhân $k^2$ và độ lệch chuẩn nhân $|k|$.

GV ghi sẵn trên bảng phụ mẫu 1, 3, 3, 5. Cặp đôi tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mẫu mới: (a) mẫu cộng 10: 11, 13, 13, 15; (b) mẫu nhân 2: 2, 6, 6, 10; so sánh với mẫu gốc. Câu hỏi GV đặt ra: 'Khi cộng 10 thì các độ lệch so với trung bình có thay đổi không?'; 'Khi nhân 2 thì bình phương độ lệch thay đổi thế nào?'.

• Mẫu gốc: $s^2 = 2$, $s = \sqrt{2}$.
• Mẫu cộng 10 (11, 13, 13, 15): $\bar{x} = 13$, độ lệch $-2$, $0$, $0$, $2$ như cũ; $s^2 = 2$, $s = \sqrt{2}$. Phương sai không đổi.
• Mẫu nhân 2 (2, 6, 6, 10): $\bar{x} = 6$, độ lệch $-4$, $0$, $0$, $4$; tổng bình phương $32$; $s^2 = \dfrac{32}{4} = 8 = 2^2 \cdot 2$; $s = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} = |2| \cdot \sqrt{2}$.
• Kết luận: cộng hằng số không đổi $s^2$ và $s$; nhân $k$ thì $s^2$ nhân $k^2$, $s$ nhân $|k|$.

Củng cố khái niệm $R$, $\mathrm{IQR}$, $s^2$, $s$ và quy tắc biến đổi; phát hiện nhanh sai sót của HS.

HS làm các câu sau trên trang bài tập tương tác NeoEdu hoặc trên bảng con:

1. Mẫu 1, 3, 3, 5 có khoảng biến thiên bằng bao nhiêu?
2. Mẫu 1, 3, 3, 5 có phương sai chia $n$ bằng bao nhiêu?
3. Nếu $s^2 = 9\ \mathrm{cm}^2$ thì $s$ bằng: A. $9$ cm; B. $3$ cm; C. $3\ \mathrm{cm}^2$; D. $81$ cm.
4. Cộng 10 vào mọi giá trị làm phương sai tăng thêm 10. Đúng hay sai?
5. Nhân mọi giá trị với 2 thì phương sai như thế nào? A. Nhân 2; B. Nhân 4; C. Không đổi; D. Chia 2.
6. Biết $Q_1 = 2$, $Q_3 = 6$. Tính $\mathrm{IQR}$.

Đáp án:

1. $R = 5 - 1 = 4$.
2. $\bar{x} = 3$, tổng bình phương lệch $= 8$, $\dfrac{8}{4} = 2$.
3. Đáp án B: $s = \sqrt{9} = 3$ cm; đơn vị của $s$ là cm vì $s$ cùng đơn vị với dữ liệu.
4. Sai: độ lệch so với trung bình không đổi nên phương sai không đổi.
5. Đáp án B: phương sai nhân $2^2 = 4$.
6. $\mathrm{IQR} = 6 - 2 = 4$.

Vận dụng $R$, $\mathrm{IQR}$, $s$ để so sánh hai nhóm số liệu thực tế, đối chiếu điều kiện và đánh giá giới hạn của kết luận.

Nhóm 4 HS thu thập số liệu điểm kiểm tra 15 phút của 8 bạn trong lớp (hoặc dùng số liệu giả định do GV cung cấp). Yêu cầu: tính $R$, $\mathrm{IQR}$, $s$ cho mỗi nhóm; kết luận nhóm nào đồng đều hơn; kiểm tra có giá trị ngoại lệ không và nêu cách xử lí. Trình bày báo cáo ngắn 3 đến 5 câu có số liệu và quy ước đã dùng.

Sản phẩm mỗi nhóm: bảng tính $R$, $Q_1$, $Q_3$, $\mathrm{IQR}$, $\bar{x}$, $s^2$, $s$; kết luận có căn cứ số liệu (ví dụ: nhóm có $s$ nhỏ hơn thì điểm đồng đều hơn); nêu rõ hạn chế do mẫu nhỏ và kiến nghị kiểm tra lại nếu có giá trị vượt ngưỡng.