Giáo án Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Huy động kiến thức nền về số trung bình và nhận ra rằng một mẫu số liệu có thể được mô tả bằng nhiều số khác nhau, từ đó xác định vấn đề của bài học.

GV đưa ra số giờ tự học mỗi tuần của 7 bạn trong nhóm: 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10 (đã ghi trên bảng phụ). GV đặt câu hỏi: (1) Nếu muốn nói « một bạn điển hình học bao nhiêu giờ », em chọn số nào? (2) Tính nhanh tổng và trung bình cộng của dãy số. (3) Có số nào khác cũng có thể mô tả « mức điển hình » không?

HS nhận ra tổng bằng $2+3+3+5+7+8+10=38$, trung bình $\bar{x}=\dfrac{38}{7}\approx 5{,}43$. HS đề xuất các phương án: số giữa là 5, số xuất hiện nhiều nhất là 3. Kết luận sơ bộ: các số này khác nhau nên cần biết rõ định nghĩa và điều kiện dùng từng số. Đây là nhiệm vụ học tập của bài.

Nêu được công thức số trung bình cho mẫu không ghép nhóm và bảng tần số; tính được trung bình có trọng số.

HS đọc mục « Hiểu cách hoạt động » về số trung bình trong SGK. Nhóm 4 HS hoàn thành Phiếu học tập số 1, gồm: (a) Viết công thức $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ cho mẫu không ghép nhóm. (b) Viết công thức $\bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{N}$ cho bảng tần số, với $N=\sum_{i=1}^{k} n_i$. (c) Tính trung bình của bảng: giá trị 1 có tần số 2, giá trị 4 có tần số 3. (d) Vì sao $\dfrac{1+4}{2}$ không phải kết quả đúng?

(a) Công thức $\bar{x}=\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}$: số trung bình bằng tổng các giá trị chia cho số phần tử. (b) Công thức $\bar{x}=\dfrac{\sum n_i x_i}{N}$: cộng từng « giá trị × tần số » rồi chia cho tổng tần số. (c) Tổng có trọng số: $1\times 2+4\times 3=14$; tổng tần số $N=5$; $\bar{x}=\dfrac{14}{5}=2{,}8$. (d) Vì giá trị 4 xuất hiện nhiều hơn giá trị 1 nên trung bình phải nghiêng về phía 4; trung bình đơn giản $\dfrac{1+4}{2}=2{,}5$ bỏ qua tần số, cho kết quả sai.

Giải thích được cách xác định trung vị và các tứ phân vị $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ của dãy số đã sắp tăng dần, phân biệt trường hợp $n$ lẻ và $n$ chẵn.

HS đọc phần trung vị và tứ phân vị trong SGK. Nhóm thực hiện Phiếu học tập số 2: (a) Sắp xếp dãy 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10 theo thứ tự tăng dần và xác định $n$. (b) Tìm trung vị $Q_2$. (c) Tách nửa dưới và nửa trên (không tính số giữa), tìm $Q_1$ và $Q_3$. (d) Làm lại với dãy 1, 2, 2, 4, 6, 7, 10, 12 có $n$ chẵn. (e) Nêu quy trình tổng quát.

(a) Dãy đã tăng, $n=7$. (b) Số giữa là số thứ 4: $Q_2=5$. (c) Nửa dưới 2, 3, 3 có trung vị $Q_1=3$; nửa trên 7, 8, 10 có trung vị $Q_3=8$. (d) Dãy có $n=8$, trung vị $Q_2=\dfrac{4+6}{2}=5$; nửa dưới 1, 2, 2, 4 có $Q_1=\dfrac{2+2}{2}=2$; nửa trên 6, 7, 10, 12 có $Q_3=\dfrac{7+10}{2}=8{,}5$. (e) Quy trình: sắp tăng dần; tìm trung vị; chia hai nửa; tìm trung vị từng nửa. Khi $n$ lẻ, số giữa không thuộc hai nửa; khi $n$ chẵn, hai nửa đều có $\dfrac{n}{2}$ phần tử.

Nêu được khái niệm mốt, xác định được mốt trong các trường hợp có một, nhiều hoặc không có mốt; giải thích được vì sao trung bình nhạy với giá trị cực đoan.

HS đọc phần mốt và nhận xét trong SGK trang 81. Nhóm trả lời: (a) Tìm mốt của dãy 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10. (b) Tìm mốt của dãy 1, 2, 2, 3, 3, 4. (c) Một mẫu mà mọi giá trị đều xuất hiện một lần thì có mốt không? (d) So sánh trung bình và trung vị của 2, 3, 4, 5, 6 với 2, 3, 4, 5, 100 (GV sẽ dùng kết quả này ở luyện tập).

(a) Mốt là 3 (xuất hiện 2 lần, nhiều nhất). (b) Có hai mốt là 2 và 3, mỗi số xuất hiện 2 lần. (c) Không có mốt, vì mọi giá trị có cùng tần số 1 và không có giá trị nào nổi trội. (d) Dãy thứ nhất: trung bình 4, trung vị 4; dãy thứ hai: trung bình $22{,}8$, trung vị 4. Trung bình bị kéo mạnh bởi giá trị 100, trung vị gần như không đổi. Kết luận: mốt là giá trị có tần số lớn nhất, không phải « số giữa » hay « số trung bình »; trung vị không phải là số xuất hiện nhiều nhất.

Vận dụng được định nghĩa và quy trình để tính trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt cho các mẫu cụ thể.

Cá nhân làm nhanh các bài 1–6 bằng hình thức trắc nghiệm hoặc điền đáp án, sau đó đổi chéo kiểm tra với bạn cùng bàn. Đề: (1) Dữ liệu 2, 4, 6, 8 có trung bình bao nhiêu? (2) Dữ liệu tăng 1, 2, 7, 8, 10 có trung vị bao nhiêu? (3) Dữ liệu 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10 có Q₁, Q₃ theo quy ước tách bỏ số giữa: A. (3; 8); B. (5; 5); C. (2; 10); D. (3; 7)? (4) Mốt của 1, 2, 2, 3, 3, 4 là: A. Chỉ 2; B. Chỉ 3; C. Cả 2 và 3; D. Luôn 4? (5) Nhận định: « Có thể tính trung vị trước khi sắp thứ tự bằng cách lấy số đang nằm giữa hàng nhập » đúng hay sai? (6) Bảng giá trị 1 có tần số 2, giá trị 4 có tần số 3 có trung bình: A. 2,5; B. 2,8; C. 3; D. 5?

Đáp án: (1) 5, vì $\dfrac{20}{4}=5$. (2) 7, vì n = 5, số giữa thứ 3 là 7. (3) Đáp án A: nửa dưới 2, 3, 3 có trung vị 3; nửa trên 7, 8, 10 có trung vị 8. (4) Đáp án C: cả 2 và 3 cùng có tần số lớn nhất là 2. (5) Sai: trung vị dựa trên dãy đã sắp tăng dần, không dựa trên thứ tự nhập. (6) Đáp án B: $\dfrac{1\times 2+4\times 3}{5}=\dfrac{14}{5}=2{,}8$.

Tính đầy đủ các số đặc trưng cho một mẫu và giải thích cách báo cáo kết quả có kèm điều kiện, không tự ý loại bỏ dữ liệu.

Nhóm làm bài 7 và bài 8: (7) Tính trung bình, trung vị, Q₁, Q₃, mốt của mẫu 1, 2, 2, 4, 6, 7, 10, 12 và giải thích quy trình. (8) So sánh trung bình, trung vị của 2, 3, 4, 5, 6 và 2, 3, 4, 5, 100. Nếu muốn mô tả mức điển hình, em báo cáo số nào và kèm những thông tin gì?

Bài 7: trung bình $\bar{x}=\dfrac{44}{8}=5{,}5$; trung vị $Q_2=\dfrac{4+6}{2}=5$; $Q_1=\dfrac{2+2}{2}=2$; $Q_3=\dfrac{7+10}{2}=8{,}5$; mốt là 2 (xuất hiện 2 lần, nhiều nhất). Gợi ý chấm: 0,25 điểm trung bình; 0,25 điểm trung vị; 0,3 điểm hai tứ phân vị; 0,2 điểm mốt và quy trình. Bài 8: dãy thứ nhất có trung bình 4, trung vị 4; dãy thứ hai có trung bình $22{,}8$, trung vị 4. Báo cáo: nên nêu cả trung bình và trung vị, cỡ mẫu 5, và kiểm tra xem giá trị 100 có phải lỗi nhập liệu hay là quan sát thật; không tự xóa 100 để làm đẹp kết quả. Gợi ý chấm: 0,4 điểm bốn kết quả; 0,3 điểm diễn giải; 0,3 điểm báo cáo có điều kiện.

Vận dụng các số đặc trưng để mô tả một mẫu số liệu thực tế, chọn số đo phù hợp và viết báo cáo ngắn có điều kiện.

Mỗi nhóm thu thập số phút đi từ nhà đến trường của 8 bạn trong lớp (hoặc dùng số liệu GV cung cấp: 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 60). Nhóm tính trung bình, trung vị, Q₁, Q₃, mốt; sau đó viết báo cáo 3–4 câu cho ban giám hiệu, trả lời: Số nào nên dùng để mô tả thời gian đi học điển hình? Có cần báo cáo thêm số nào không? Vì sao? Nếu cần, tham khảo học liệu NeoEdu để kiểm tra lại cách tính.

Với dữ liệu 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25, 60 (n = 8): tổng 187, trung bình $\bar{x}=\dfrac{187}{8}=23{,}375\approx 23{,}4$; trung vị $Q_2=\dfrac{18+20}{2}=19$; $Q_1=15$ (từ 12, 15, 15, 18 có trung vị $\dfrac{15+15}{2}=15$); $Q_3=23{,}5$ (từ 20, 22, 25, 60 có trung vị $\dfrac{22+25}{2}=23{,}5$); mốt là 15. Báo cáo mẫu: « Thời gian đến trường trung vị là 19 phút, nửa số bạn đi dưới 19 phút và nửa còn lại đi trên 19 phút; khoảng tứ phân vị từ 15 đến 23,5 phút. Trung bình là 23,4 phút, cao hơn trung vị do một bạn đi 60 phút; cỡ mẫu nhỏ (8 bạn) nên kết quả chỉ mang tính tham khảo. »