Giáo án Bài 7. Luyện tập chung (trang 109, 110)

Kích hoạt kiến thức về đường kính, khoảng cách tới dây và số đo cung để chuẩn bị cho tiết luyện tập.

HS dùng bảng con trả lời ba câu hỏi nhanh:

• Đường tròn có bán kính $7$ cm thì đường kính dài bao nhiêu cm?
• Đường tròn bán kính $R=13$, khoảng cách từ tâm đến một dây là $5$. Tính độ dài dây.
• Cung $90^\circ$ của đường tròn bán kính $R=4$ có độ dài $l=\dfrac{\pi\cdot 4\cdot 90}{180}$. Hệ số của $\pi$ là bao nhiêu?

Đáp án: $14$ cm (vì $d=2R$); dây dài $24$ (vì nửa dây là $\sqrt{13^2-5^2}=12$); hệ số của $\pi$ là $2$ (vì $l=2\pi$). HS nhận ra cần nhớ công thức đường kính, định lí Pythagore và công thức độ dài cung.

Hệ thống hoá kiến thức về đường tròn, cung, dây, độ dài cung và diện tích hình quạt tròn.

HS hoạt động theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhóm điền bảng, sau đó tự chọn một ví dụ $R=6$ cm, cung $60^\circ$ để kiểm tra lại công thức.
GV nêu câu hỏi: Hai cung nhỏ bằng nhau khi nào? Vì sao hai dây bằng nhau thì hai cung nhỏ tương ứng cũng bằng nhau?

Kết quả điền Phiếu học tập số 1:

• Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ là tập hợp điểm $M$ có $OM=R$; đường kính $d=2R$, mọi đường kính đi qua tâm.
• Hai cung nhỏ bằng nhau khi chúng cùng bán kính và cùng số đo; dây bằng nhau tương ứng cung nhỏ bằng nhau trong cùng một đường tròn.
• Độ dài cung: $l=\dfrac{\pi Rn}{180}$; diện tích quạt: $S=\dfrac{\pi R^2n}{360}=\dfrac{lR}{2}$.
  Ví dụ kiểm tra: $R=6$ cm, $n=60^\circ$ cho $l=2\pi$ cm và $S=6\pi$ cm$^2$.

Hệ thống hoá điều kiện về vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn và của hai đường tròn bằng so sánh khoảng cách với bán kính.

HS làm việc cặp đôi. GV nêu hai nhóm câu hỏi:

• Đường thẳng cách tâm $O$ một khoảng $d$, bán kính $R$. Khi nào đường thẳng cắt, tiếp xúc, không giao đường tròn? Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại đâu?
• Hai đường tròn bán kính $R\ge r$, tâm cách nhau $d$. Điều kiện cắt nhau, tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong là gì?
  Ví dụ: $R=5$, $OP=13$, $PA$ là tiếp tuyến. Tính $PA$.

Kiến thức HS rút ra:

• $d<R$: cắt tại hai điểm; $d=R$: tiếp xúc tại một điểm; $d>R$: không giao nhau.
• Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, nên $\triangle OAP$ vuông tại $A$.
• Hai đường tròn cắt nhau khi $R-r<d<R+r$; tiếp xúc ngoài khi $d=R+r$; tiếp xúc trong khi $d=R-r>0$.
  Ví dụ: $PA=\sqrt{13^2-5^2}=12$.

Vận dụng kiến thức đã hệ thống để giải các bài tập về vị trí điểm, chứng minh hình học, tính độ dài cung và góc ở tâm.

HS làm việc nhóm 4 với năm bài tập sau, mỗi nhóm nhận một đề để trình bày, các nhóm còn lại kiểm tra:

1. Hai đường tròn đồng tâm bán kính $3$ và $5$. Một điểm cách tâm $4$ nằm ở đâu?
2. Chứng minh: Hai dây bằng nhau của một đường tròn thì cách đều tâm.
3. Bánh xe bán kính $R=0{,}3$ m lăn không trượt $20$ vòng. Bánh xe đi được bao xa?
4. Từ điểm $P$ ngoài đường tròn tâm $O$ kẻ hai tiếp tuyến $PA$, $PB$ ($A$, $B$ là tiếp điểm), $\widehat{APB}=60^\circ$. Tính góc $\widehat{AOB}$.
5. Hai đường tròn cắt nhau tại $A$, $B$. Giải thích vì sao đường nối tâm là trung trực của $AB$.

Đáp án:

1. Điểm nằm trong đường tròn bán kính $5$ và ngoài đường tròn bán kính $3$, tức ở miền vành khuyên giữa hai đường tròn (vì $3<4<5$).
2. Kẻ $OH\perp AB$, $OK\perp CD$ với $AB=CD$; hai nửa dây bằng nhau và $OA=OC$, nên theo Pythagore $OH^2=OK^2$, suy ra $OH=OK$.
3. Mỗi vòng quãng đường $2\pi R=0{,}6\pi$ m; $20$ vòng là $12\pi\approx 37{,}70$ m.
4. Tứ giác $OAPB$ có $\widehat{OAP}=\widehat{OBP}=90^\circ$, nên $\widehat{AOB}=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ$.
5. Mỗi tâm cách đều $A$ và $B$ (vì các đoạn nối tới $A$, $B$ là bán kính), nên hai tâm cùng nằm trên trung trực của $AB$, do đó đường nối tâm là trung trực $AB$.

Vận dụng công thức diện tích hình quạt và độ dài cung vào tình huống thực tế về vườn hoa.

Một vườn hoa hình tròn có bán kính $5$ m. Phần trồng cỏ là một hình quạt có cung $72^\circ$. HS tính:

• Độ dài cung bao quanh phần trồng cỏ.
• Diện tích phần trồng cỏ.
  HS trình bày bài giải và kiểm tra đơn vị.

Độ dài cung: $l=\dfrac{\pi\cdot 5\cdot 72}{180}=2\pi\approx 6{,}28$ m.
Diện tích quạt: $S=\dfrac{\pi\cdot 25\cdot 72}{360}=5\pi\approx 15{,}71$ m$^2$.
Kiểm tra: $S=\dfrac{lR}{2}=\dfrac{2\pi\cdot 5}{2}=5\pi$ (khớp kết quả).