Giáo án Bài 8. Bài tập cuối chương V

Huy động kiến thức nền về đường tròn, cung, dây, quạt và vị trí tương đối; xác định nhiệm vụ ôn tập chương V.

GV chia lớp thành 6 nhóm (mỗi nhóm 5–6 HS). Mỗi nhóm nhận một bộ thẻ gồm 8 thẻ khái niệm và công thức, ví dụ: "Đường kính", "$d=2R$"; "Độ dài cung $n^\circ$", "$l=\dfrac{\pi Rn}{180}$"; "Diện tích quạt $n^\circ$", "$S=\dfrac{\pi R^2n}{360}$"; "Đường thẳng tiếp xúc đường tròn", "$d=R$"; "Hai đường tròn tiếp xúc ngoài", "$d=R+r$"; "Đường thẳng cắt đường tròn", "$d<R$"; "Hai đường tròn cắt nhau", "$R-r<d<R+r$"; "Tiếp tuyến và bán kính", "vuông góc tại tiếp điểm". Nhóm ghép đúng từng cặp khái niệm và công thức trong 3 phút, sau đó trả lời câu hỏi: "Trong chương này có những dạng bài nào mà em cần ôn lại?"

Các cặp ghép đúng: đường kính $d=2R$; độ dài cung $l=\dfrac{\pi Rn}{180}$; diện tích quạt $S=\dfrac{\pi R^2n}{360}$; đường thẳng tiếp xúc $d=R$; hai đường tròn tiếp xúc ngoài $d=R+r$; đường thẳng cắt $d<R$; hai đường tròn cắt nhau $R-r<d<R+r$. HS nêu được 4 nhóm kiến thức: đường tròn và dây, cung và quạt, vị trí tương đối, tiếp tuyến.

HS hệ thống hoá kiến thức về đường tròn, dây, cung, độ dài cung và diện tích hình quạt tròn; nắm được cách chọn công thức phù hợp với dữ kiện đề bài.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhóm thống nhất nội dung để điền vào bảng hệ thống và giải thích vì sao mỗi công thức đúng. Nhiệm vụ chính: (1) Nêu định nghĩa đường tròn, đường kính và mối liên hệ giữa dây và cung. (2) Viết công thức độ dài cung và diện tích quạt, nêu đơn vị của từng đại lượng. (3) Chọn công thức phù hợp khi đề cho $n^\circ$ hoặc cho độ dài cung. (4) Dùng định lí Pythagore để tính khoảng cách từ tâm đến dây khi biết $R$ và độ dài dây.

Sơ đồ hệ thống gồm: Đường tròn tâm $O$, bán kính $R>0$ là tập hợp điểm $M$ có $OM=R$; đường kính $d=2R$; trong cùng một đường tròn hai cung nhỏ bằng nhau khi và chỉ khi hai dây tương ứng bằng nhau. Độ dài cung $l=\dfrac{\pi Rn}{180}$ (đơn vị dài); diện tích quạt $S=\dfrac{\pi R^2n}{360}=\dfrac{lR}{2}$ (đơn vị vuông). Cách chọn: khi biết góc $n^\circ$ và $R$, dùng trực tiếp công thức; khi biết khoảng cách $k$ từ tâm đến dây và bán kính $R$, nửa dây $=\sqrt{R^2-k^2}$.

HS nắm vững điều kiện vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn và của hai đường tròn; biết xác định số giao điểm từ khoảng cách và bán kính.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2 (phần A). Nhóm lập sơ đồ tư duy có hai nhánh: nhánh 1 là đường thẳng và đường tròn (so sánh $d$ với $R$); nhánh 2 là hai đường tròn (so sánh $d$ với $R+r$ và $R-r$). Nhóm cũng ghi nhận tính chất tiếp tuyến: tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, và dùng tính chất này để tính độ dài tiếp tuyến bằng định lí Pythagore.

Sơ đồ tư duy gồm: Đường thẳng và đường tròn: $d<R$ cắt tại hai điểm; $d=R$ tiếp xúc tại một điểm; $d>R$ không giao nhau. Hai đường tròn bán kính $R\ge r$, tâm cách nhau $d$: cắt nhau khi $R-r<d<R+r$; tiếp xúc ngoài khi $d=R+r$; tiếp xúc trong khi $d=R-r>0$; không giao nhau khi $d>R+r$ hoặc $d<R-r$. Tiếp tuyến: $OA\perp PA$, nên $PA=\sqrt{OP^2-R^2}$.

HS vận dụng công thức và điều kiện vị trí tương đối để giải nhanh các câu hỏi cơ bản; rèn kĩ năng kiểm tra điều kiện trước khi kết luận.

GV chia lớp thành 3 trạm, mỗi nhóm luân phiên qua trạm trong 8 phút; mỗi trạm có một bảng ghi đề bài và yêu cầu ghi đáp số kèm lời giải ngắn. Trạm 1 (câu 1 đến 4): tính đường kính, độ dài dây, hệ số của $\pi$ trong độ dài cung, số giao điểm của đường thẳng với đường tròn. Trạm 2 (câu 5 đến 7): số giao điểm của hai đường tròn, tính bán kính và khoảng cách từ tâm đến dây. Trạm 3 (câu 8 đến 10): hệ số của $\pi$ trong diện tích quạt, số giao điểm trong các trường hợp tiếp xúc. Đề bài và đáp số được trình bày như sau.

Trạm 1: (1) Bán kính $7$ cm, đường kính $d=2R=14$ cm. (2) $R=13$, khoảng cách tâm đến dây $5$: nửa dây $=\sqrt{13^2-5^2}=12$, dây dài $24$. (3) Cung $90^\circ$, $R=4$: $l=\dfrac{\pi\cdot4\cdot90}{180}=2\pi$, hệ số là $2$. (4) $R=5$, $d=3<5$: đường thẳng cắt đường tròn tại $2$ giao điểm. Trạm 2: (5) $R=5$, $r=3$, $d=8=R+r$: tiếp xúc ngoài, $1$ giao điểm. (6) Đường kính $18$ cm, bán kính $R=9$ cm. (7) $R=5$, dây $8$, nửa dây $4$: khoảng cách $\sqrt{5^2-4^2}=3$. Trạm 3: (8) Quạt $90^\circ$, $R=4$: $S=\dfrac{\pi\cdot16\cdot90}{360}=4\pi$, hệ số là $4$. (9) $R=5$, $d=5=R$: tiếp xúc, $1$ giao điểm. (10) $R=5$, $r=3$, $d=2=R-r>0$: tiếp xúc trong, $1$ giao điểm.

HS vận dụng công thức cung, quạt và vị trí tương đối hai đường tròn để giải quyết tình huống thực tế; biết kiểm tra điều kiện và đơn vị của kết quả.

Tình huống 1: Một miếng bìa hình quạt có bán kính $12$ cm và góc ở tâm $90^\circ$ được dùng để làm phễu. Tính độ dài cung và diện tích miếng bìa (lấy $\pi\approx3{,}14$). Tình huống 2: Hai ròng rọc tròn có bán kính $8$ cm và $3$ cm, tâm cách nhau $11$ cm, được nối bằng một dây curoa chạy tiếp xúc ngoài với cả hai ròng rọc. Hỏi hai ròng rọc có tiếp xúc nhau không và vì sao? Tình huống này được giải theo nhóm 4 trong 10 phút, sau đó 1 HS nộp bài để chấm điểm nhanh.

Tình huống 1: $l=\dfrac{\pi\cdot12\cdot90}{180}=6\pi\approx18{,}8$ cm; $S=\dfrac{\pi\cdot144\cdot90}{360}=36\pi\approx113{,}0$ cm$^2$. Tình huống 2: $d=11=R+r=8+3$, hai đường tròn tiếp xúc ngoài, có $1$ điểm chung; vì vậy hai ròng rọc chạm nhau tại một điểm và dây curoa nối tiếp xúc hợp lí.