Giáo án Bài 12. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Tạo tình huống thực tế để HS nhận ra nhu cầu tìm thời điểm chung của hai chu kì lặp lại, từ đó xác định vấn đề cần học: bội chung và BCNN.

GV đưa tình huống: Đèn A nháy mỗi 4 giây, đèn B nháy mỗi 6 giây, hai đèn cùng nháy tại thời điểm 0 giây. HS trả lời câu hỏi: Sau ít nhất bao nhiêu giây thì hai đèn lại cùng nháy? Liệt kê một vài thời điểm mà đèn A nháy (4, 8, 12, 16, ...) và các thời điểm đèn B nháy (6, 12, 18, ...). HS nêu nhận xét: những số nào xuất hiện ở cả hai dãy?

HS liệt kê được hai dãy: đèn A nháy tại 4, 8, 12, 16, 20, 24,...; đèn B nháy tại 6, 12, 18, 24,... Các số xuất hiện ở cả hai dãy là 12, 24, 36,... Kết luận sơ bộ: sau ít nhất 12 giây hai đèn cùng nháy lại. HS nêu được vấn đề: làm sao tìm nhanh số nhỏ nhất vừa là bội của 4 vừa là bội của 6 mà không phải liệt kê mãi.

HS nêu được định nghĩa bội chung, BCNN; biết các bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b) và nhận ra rằng BCNN phải lấy số dương, không lấy 0.

Nhóm 4 HS hoàn thành Phiếu học tập số 1 theo kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi HS viết các bội của 6 và 8 (từ 0 đến 48) vào ô riêng trên khăn, sau đó tìm các bội chung. Nhóm thảo luận rút ra định nghĩa bội chung và BCNN, đồng thời trả lời: vì sao 0 là bội chung của 6 và 8 nhưng không được gọi là BCNN?

Các bội của 6 là 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48. Các bội của 8 là 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48. Bội chung (trong phạm vi đã liệt kê) là 0, 24, 48. Kiến thức HS rút ra: Bội chung của hai số a, b là số vừa chia hết cho a vừa chia hết cho b. BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất khác 0 của a và b, kí hiệu BCNN(a, b). BCNN(6, 8) = 24. Vì 0 luôn là bội chung nhưng BCNN phải khác 0 nên không lấy 0. Các bội chung của a, b chính là các bội của BCNN(a, b), kể cả 0.

HS tìm được BCNN của hai hoặc nhiều số bằng phân tích ra thừa số nguyên tố; giải thích được trường hợp hai số nguyên tố cùng nhau và trường hợp số này chia hết cho số kia.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 2: (1) Phân tích 8 và 12 ra thừa số nguyên tố, tìm thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất để tính BCNN(8, 12). (2) Tìm BCNN(5, 7) và BCNN(9, 27). (3) Giải thích vì sao BCNN(9, 27) = 27 mà không cần tính toán. (4) Quan sát ví dụ hai đèn nháy mỗi 8 giây và 12 giây để tìm thời điểm cùng nháy lại. GV dẫn dắt để HS nêu quy tắc chung: lấy mọi thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất.

8 = 2³; 12 = 2² × 3. Thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất là 2³ và 3, nên BCNN(8, 12) = 2³ × 3 = 24. BCNN(5, 7) = 35 vì 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau, bằng tích 5 × 7. BCNN(9, 27) = 27 vì 27 chia hết cho 9, nên BCNN(a, b) = a khi a chia hết cho b. Ví dụ hai đèn: 8 = 2³, 12 = 2² × 3, BCNN = 2³ × 3 = 24, sau 24 giây hai đèn cùng nháy lại. Quy tắc rút ra: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố; lấy tất cả thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất; tích các thừa số đó là BCNN.

HS vận dụng định nghĩa, quy tắc và các trường hợp đặc biệt để tìm BCNN, chọn bội chung đúng và lập luận khi đánh giá khẳng định.

HS làm bài tập theo hình thức trò chơi trạm trong nhóm 4, mỗi trạm một nhiệm vụ: Trạm 1: Bài 1 và Bài 3 (tìm BCNN(4, 6), BCNN(12, 18)). Trạm 2: Bài 2 (chọn bội chung của 6 và 8 trong các đáp án A, B, C, D). Trạm 3: Bài 4 (điền BCNN(5, 7) và BCNN(9, 27)). Trạm 4: Bài 5 (đánh giá Đúng hay Sai các khẳng định a, b, c và giải thích). Sau mỗi trạm, nhóm ghi kết quả vào bảng nhóm; GV chốt đáp án chung.

Bài 1: BCNN(4, 6) = 12 (bội dương chung đầu tiên là 12). Bài 2: Đáp án C, vì 24 chia hết cho cả 6 và 8; 12 không chia hết cho 8; 18 không chia hết cho 8; 30 không chia hết cho 8. Bài 3: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², lấy 2² × 3² = 36, BCNN(12, 18) = 36. Bài 4: BCNN(5, 7) = 35; BCNN(9, 27) = 27. Bài 5: a) Đúng, vì 0 chia hết cho 3 và 4 nên là bội chung; b) Sai, vì BCNN(3, 4) = 12, BCNN luôn khác 0; c) Đúng, vì mọi bội của 12 đều chia hết cho 3 và 4, và BCNN(3, 4) = 12 nên mọi bội của 12 là bội chung của 3 và 4.

HS mô hình hoá tình huống thực tế thành bài toán tìm BCNN, giải quyết đầy đủ các trường hợp thỏa mãn điều kiện và kiểm tra kết quả bằng lập luận.

Nhóm HS giải ba bài toán: (1) Hai xe xuất bến mỗi 15 phút và 20 phút, cùng xuất lúc 7 giờ. Sau bao nhiêu phút hai xe lại cùng xuất bến? Vào lúc mấy giờ? (2) Mẫu chung nhỏ nhất của $\dfrac{5}{12}$ và $\dfrac{7}{18}$ là bao nhiêu? (3) Một đội có số học sinh từ 100 đến 150, xếp hàng 8 hoặc hàng 12 đều vừa đủ. Tìm số học sinh của đội. Có bao nhiêu khả năng? GV gợi ý: bài 3 cần xác định bội của BCNN(8, 12) và kiểm tra trong khoảng cho trước.

(1) BCNN(15, 20) = 60. Sau 60 phút, tức là lúc 8 giờ, hai xe lại cùng xuất bến. (2) BCNN(12, 18) = 36, nên mẫu chung nhỏ nhất là 36. (3) BCNN(8, 12) = 24. Các bội của 24 gần khoảng 100 đến 150: 96, 120, 144, 168. Trong khoảng có 120 và 144, nên có hai khả năng: 120 học sinh hoặc 144 học sinh. Kiểm tra: 120 chia hết cho 8 (120 = 8 × 15) và chia hết cho 12 (120 = 12 × 10); 144 chia hết cho 8 (144 = 8 × 18) và cho 12 (144 = 12 × 12). Đáp số: 120 hoặc 144 học sinh.