Giáo án Bài tập ôn tập cuối năm

Huy động kiến thức nền của các chương và xác định rõ nhiệm vụ ôn tập: luôn ghi điều kiện, trình bày biến đổi tương đương và kiểm tra kết quả.

HS trả lời nhanh ba câu hỏi GV chiếu trên màn hình:

• Câu 1: Hàm số $y=\log_a f(x)$ có nghĩa khi nào?
• Câu 2: Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập thì $P(A\cap B)$ bằng bao nhiêu?
• Câu 3: Đạo hàm cấp hai $f''(x)$ được tính như thế nào?
  Sau đó, HS cho biết vì sao cần ghi điều kiện trước khi giải một phương trình logarit.

Câu trả lời dự kiến:

• Câu 1: $a>0$, $a\neq 1$ và $f(x)>0$.
• Câu 2: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
• Câu 3: $f''(x)=\big(f'(x)\big)'$, là đạo hàm của đạo hàm $f'(x)$.
• Kết luận của HS: cần ghi điều kiện để tránh nhận nghiệm ngoại lai; ví dụ phương trình $\log_2(x-2)=\log_2(6-x)$ phải có $x-2>0$ và $6-x>0$.

Hệ thống hoá các công thức và điều kiện áp dụng của các mảng kiến thức đại số và giải tích, biết đọc đúng điều kiện và phạm vi áp dụng của từng công thức.

Nhóm 1 và nhóm 2 (mỗi nhóm 4–5 HS) làm việc trên khăn trải bàn A0 và hoàn thành phần A của Phiếu học tập số 1. Mỗi nhóm được giao một mảng và tự vẽ sơ đồ:

• Nhóm 1: Lượng giác (nghiệm của $\sin x=0$, miền xác định của hàm số lượng giác) và cấp số cộng.
• Nhóm 2: Giới hạn, đạo hàm cấp hai và logarit có điều kiện (phương trình $\log_a A=\log_a B$).
  Mỗi nhóm ghi: công thức, điều kiện áp dụng và một ví dụ minh hoạ.

Sản phẩm mong đợi trên khăn trải bàn:

• Lượng giác: $\sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$; hàm $y=\dfrac{1}{\sin x}$ có miền xác định $\sin x\neq 0$, tức $x\neq k\pi$.
• Cấp số cộng: $u_n=u_1+(n-1)d$; $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$; ví dụ $u_1=4$, $d=2$ cho $u_{10}=22$, $S_{10}=130$.
• Giới hạn: nếu $f(x)=g(x)$ với mọi $x\neq x_0$ thì $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)$; ví dụ $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$.
• Đạo hàm: $f''(x)=(f'(x))'$; ví dụ $f(x)=x^3-2x$ có $f''(x)=6x$, $f''(2)=12$.
• Logarit: $\log_a A=\log_a B \Leftrightarrow A=B$ với điều kiện $A>0$, $B>0$, $a>0$, $a\neq 1$.

Hệ thống hoá điều kiện chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, phân biệt hai biến cố độc lập và xung khắc, hiểu số trung bình ghép nhóm là giá trị xấp xỉ.

Nhóm 3 và nhóm 4 hoàn thành phần B của Phiếu học tập số 1:

• Nhóm 3: Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
• Nhóm 4: Xác suất (hai biến cố độc lập và xung khắc) và số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
  Nhóm 4 kiểm tra lại ví dụ $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}4$ và $A$, $B$ độc lập.

Sản phẩm mong đợi:

• Hình học: nếu $d\perp a$, $d\perp b$ và $a$, $b$ cắt nhau cùng nằm trong $(P)$ thì $d\perp (P)$.
• Xác suất: nếu $A$, $B$ độc lập thì $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}12$ và $P(A\cup B)=0{,}3+0{,}4-0{,}12=0{,}58$. Nếu $A$, $B$ xung khắc thì $P(A\cap B)=0$.
• Thống kê ghép nhóm: $\bar{x}\approx\dfrac{\sum n_i c_i}{n}$ với $c_i$ là giá trị đại diện của nhóm; đây là giá trị xấp xỉ, không phải số liệu chính xác của từng mẫu.

Củng cố nhanh các kiến thức ở bài 1 đến bài 5, rèn kỹ năng đọc đề, chọn đáp án và giải thích ngắn gọn lí do.

HS làm việc theo cặp đôi, một bạn đọc đề và đáp án, bạn còn lại kiểm tra và giải thích. Đề gồm 5 câu:

1. Nghiệm đầy đủ của $\sin x=0$ là gì? A. $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$; B. $x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$; C. $x=2k\pi$ duy nhất.
2. Miền xác định của $y=\ln(x+3)$ là gì? A. $[-3;+\infty)$; B. $\mathbb{R}$; C. $(-3;+\infty)$.
3. Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng có quan hệ gì với mặt phẳng đó? A. Vuông góc mặt phẳng; B. Song song mặt phẳng; C. Luôn nằm trong mặt phẳng.
4. Cho $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}4$ và $A$, $B$ độc lập. Xác suất $P(A\cup B)$ bằng bao nhiêu? A. $0{,}7$; B. $0{,}58$; C. $0{,}12$.
5. Cấp số cộng có $u_1=4$, $d=2$. Tổng 10 số hạng đầu bằng bao nhiêu?

Đáp án và giải thích ngắn:

1. Đáp án B. Sin bằng 0 tại mọi bội của $\pi$.
2. Đáp án C. Điều kiện $x+3>0$.
3. Đáp án A. Đây là tiêu chuẩn hai đường thẳng cắt nhau.
4. Đáp án B. Giao $P(A\cap B)=0{,}3\cdot 0{,}4=0{,}12$; hợp $0{,}3+0{,}4-0{,}12=0{,}58$.
5. Đáp án 130. $u_{10}=4+9\cdot 2=22$; $S_{10}=\dfrac{10(4+22)}{2}=130$.

Vận dụng các kiến thức đã hệ thống để giải tự luận: tính số trung bình ghép nhóm, tính giới hạn, tính đạo hàm cấp hai, giải phương trình logarit có kiểm tra điều kiện và viết phương trình tiếp tuyến.

Lớp chia 4 nhóm theo kỹ thuật mảnh ghép. Mỗi nhóm nhận một bài chính, làm trên Phiếu học tập số 2 rồi trình bày cho cả lớp:

• Nhóm 1: Bài 6. Nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$ có tần số lần lượt là 1, 4, 5. Tính số trung bình đại diện.
• Nhóm 2: Bài 7 và bài 8. Tính $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$; cho $f(x)=x^3-2x$, tính $f''(2)$.
• Nhóm 3: Bài 9. Giải $\log_2(x-2)=\log_2(6-x)$. Ghi rõ điều kiện, phép biến đổi và kiểm tra nghiệm.
• Nhóm 4: Bài 10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y=x^2+2x$ tại $x=1$.
  Nhóm có thể dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra phép tính.

Đáp án và lời giải tóm tắt:

• Bài 6: Đáp số $19$. Tính $\dfrac{1\cdot 5+4\cdot 15+5\cdot 25}{10}=\dfrac{190}{10}=19$ (dùng giá trị đại diện $5$, $15$, $25$; kết quả là số xấp xỉ).
• Bài 7: Đáp số $4$. Với $x\neq 2$ ta có $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$, nên giới hạn bằng $4$.
• Bài 8: Đáp số $12$. $f'(x)=3x^2-2$, $f''(x)=6x$, $f''(2)=12$.
• Bài 9: Đáp số $x=4$. Điều kiện: $x-2>0$ và $6-x>0$, tức $2<x<6$. Với điều kiện này, $\log_2(x-2)=\log_2(6-x)\Leftrightarrow x-2=6-x\Leftrightarrow x=4$, thoả mãn $2<4<6$. Kiểm tra: $\log_2 2=1=\log_2 2$. Tập nghiệm $S=\{4\}$.
• Bài 10: Đáp số $y=4x-1$. $f(1)=3$, $f'(x)=2x+2$, $f'(1)=4$; phương trình tiếp tuyến $y-3=4(x-1)$, tức $y=4x-1$.

Mô hình hoá một tình huống chuyển động bằng hàm số bậc hai, dùng đạo hàm để tính tốc độ tức thời và độ cao lớn nhất, đồng thời hiểu đây là mô hình giả định.

Giả sử một quả bóng được ném thẳng đứng lên cao, độ cao so với mặt đất (tính bằng mét) sau $t$ giây được mô hình hoá bởi $h(t)=-5t^2+20t$ với $0\le t\le 4$. Đây là mô hình giả định để luyện tập, không phải số liệu đo thực tế.
HS thực hiện:
a) Tìm $h'(t)$ và giải thích ý nghĩa của $h'(t)$.
b) Tính tốc độ tức thời tại $t=1$ giây.
c) Tìm thời điểm bóng đạt độ cao lớn nhất và độ cao đó.

Đáp án dự kiến:
a) $h'(t)=-10t+20$ (đơn vị $\mathrm{m/s}$); $h'(t)$ là tốc độ tức thời của quả bóng tại thời điểm $t$; dấu dương nghĩa là bóng đang đi lên, dấu âm nghĩa là bóng đang đi xuống.
b) $h'(1)=-10+20=10$, tức tốc độ là $10\ \mathrm{m/s}$ và bóng đang đi lên.
c) $h'(t)=0 \Leftrightarrow t=2$ (giây). Khi đó $h(2)=-5\cdot 4+20\cdot 2=20$, tức độ cao lớn nhất là $20\ \mathrm{m}$ tại thời điểm $2$ giây.