Giáo án Bài 1. Mệnh đề

Huy động kiến thức nền về câu khẳng định; nhận biết được câu nào là mệnh đề, câu nào không; tạo nhu cầu tìm hiểu khái niệm mệnh đề.

GV trình chiếu bốn câu:
A. Bạn đã làm bài tập về nhà chưa?
B. Hãy mở sách trang 5!
C. Mọi số chia hết cho $4$ đều chia hết cho $2$.
D. Số $7$ là số chẵn.
HS giơ thẻ “Mệnh đề” hoặc “Không phải mệnh đề” cho từng câu, sau đó với những câu là mệnh đề, xác định giá trị đúng hoặc sai.

• A và B không phải mệnh đề vì A là câu hỏi, B là câu mệnh lệnh; không khẳng định điều gì nên không có giá trị đúng hoặc sai.
• C là mệnh đề đúng (vì $n=4k=2(2k)$ với mọi số nguyên $n$ chia hết cho $4$).
• D là mệnh đề sai (vì $7$ là số lẻ).
• Kết luận HS rút ra: Mệnh đề là câu khẳng định có giá trị đúng hoặc sai xác định.

Nêu được cách lập mệnh đề phủ định cho mệnh đề có lượng từ $\forall$, $\exists$; xác định được giá trị chân lí của phủ định và vai trò của miền giá trị biến.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ:

1. Vì sao câu “Bạn đã làm bài chưa?” và câu “Hãy mở sách!” không là mệnh đề?
2. Xét mệnh đề “Với mọi $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geq 0$”. Viết mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của mệnh đề gốc và mệnh đề phủ định.
3. Viết phủ định của “Tồn tại $n\in\mathbb{Z}$, $n^2=2$”. Giải thích vì sao mệnh đề phủ định này đúng.

• Câu hỏi và câu mệnh lệnh không khẳng định điều gì nên không có giá trị đúng hoặc sai.
• Mệnh đề gốc “Với mọi $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geq 0$” đúng. Phủ định là “Tồn tại $x\in\mathbb{R}$, $x^2<0$”, mệnh đề này sai. Phủ định đổi giá trị chân lí, không giữ nguyên lượng từ “mọi”.
• Phủ định của “Tồn tại $n\in\mathbb{Z}$, $n^2=2$” là “Với mọi $n\in\mathbb{Z}$, $n^2\neq 2$”; mệnh đề này đúng vì không có số nguyên nào có bình phương bằng $2$.
• Kiến thức HS rút ra: Phủ định của “mọi $x\in D$ có $P(x)$” là “tồn tại $x\in D$ không $P(x)$”; phủ định của “tồn tại $x\in D$ có $P(x)$” là “mọi $x\in D$ không $P(x)$”. Miền $D$ phải được giữ nguyên khi lập phủ định.

Giải thích được điều kiện cần, điều kiện đủ; xét được tính đúng sai của mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo và mệnh đề tương đương thông qua ví dụ gốc trên số nguyên.

Lớp chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm nhận một phần của Phiếu học tập số 2 cùng ví dụ gốc: $P$: “$n$ chia hết cho $4$”, $Q$: “$n$ chia hết cho $2$” với $n$ là số nguyên.
Nhóm 1 – Kéo theo: xét $P\Rightarrow Q$; giải thích vì sao đúng; cho biết $P$ là điều kiện gì của $Q$.
Nhóm 2 – Đảo: viết mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$; xét đúng sai; nếu sai, tìm một phản ví dụ.
Nhóm 3 – Tương đương: xét $P\Leftrightarrow Q$ có đúng không; nêu điều kiện để $P\Leftrightarrow Q$ đúng.

• Nhóm 1: $P\Rightarrow Q$ đúng vì nếu $n=4k$ ($k$ nguyên) thì $n=2(2k)$ chia hết cho $2$. $P$ là điều kiện đủ của $Q$; $Q$ là điều kiện cần của $P$. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
• Nhóm 2: Mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$: “Nếu $n$ chia hết cho $2$ thì $n$ chia hết cho $4$” là sai; phản ví dụ $n=2$ (chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $4$). Mệnh đề đảo không tự đúng khi mệnh đề gốc đúng.
• Nhóm 3: $P\Leftrightarrow Q$ là sai vì chiều $Q\Rightarrow P$ sai. Mệnh đề tương đương chỉ đúng khi cả hai chiều $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng.
• Kiến thức HS rút ra: $P\Rightarrow Q$ sai chỉ khi $P$ đúng và $Q$ sai; $P\Leftrightarrow Q$ cần cả hai chiều; điều kiện đủ và điều kiện cần được phân biệt rõ.

Vận dụng được các khái niệm mệnh đề, phủ định, kéo theo, đảo, tương đương để giải bài tập; sử dụng được phản ví dụ để bác bỏ khẳng định “mọi”.

Phần A (cá nhân, trắc nghiệm trên NeoEdu hoặc giơ thẻ):
Bài 1. Câu nào là mệnh đề có giá trị đúng/sai xác định? A. Bạn tên gì?; B. Hãy học bài!; C. $7$ là số nguyên tố; D. Thật đẹp!
Bài 2. $P\Rightarrow Q$ sai trong trường hợp nào? A. $P$ đúng, $Q$ đúng; B. $P$ đúng, $Q$ sai; C. $P$ sai, $Q$ đúng; D. $P$ sai, $Q$ sai.
Bài 3. Phủ định của “mọi $x$ thực, $x^2\geq 1$” là gì? A. Mọi $x$ thực, $x^2<1$; B. Tồn tại $x$ thực, $x^2<1$; C. Tồn tại $x$ thực, $x^2\geq 1$; D. Mọi $x$ thực, $x^2=1$.
Bài 4. Trong $P\Rightarrow Q$, “$P$” là điều kiện gì của $Q$? A. Cần; B. Đủ; C. Luôn tương đương; D. Không liên quan.
Bài 5. Một ví dụ thỏa mãn có thể chứng minh mệnh đề “với mọi số thực…” đúng. Đúng hay sai?
Bài 6. Trên số nguyên, “$n$ chia hết cho $4$” tương đương “$n$ chia hết cho $2$”. Đúng hay sai?
Phần B (cặp đôi):
Bài 7. Chứng minh với $n$ nguyên: $n$ chia hết cho $6$ thì $n$ chia hết cho $3$. Đánh giá mệnh đề đảo và phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ.
Bài 8. Viết phủ định và xác định đúng sai: “Tồn tại $x$ thực sao cho $x^2+1=0$”.

Đáp án và lập luận:

• Bài 1: C (“$7$ là số nguyên tố” là khẳng định đúng; các câu còn lại là hỏi, mệnh lệnh, cảm thán).
• Bài 2: B (kéo theo chỉ sai khi tiền đề đúng nhưng kết luận sai).
• Bài 3: B (đổi $\forall$ thành $\exists$ và đổi $\geq$ thành $<$, giữ miền thực).
• Bài 4: B (đủ để suy ra $Q$; $Q$ là điều kiện cần của $P$).
• Bài 5: Sai (một ví dụ không bao quát miền vô hạn; cần lập luận tổng quát, hoặc dùng phản ví dụ để bác bỏ).
• Bài 6: Sai (chiều “chia hết cho $4$ ⇒ chia hết cho $2$” đúng nhưng đảo sai với $n=2$).
• Bài 7: Nếu $n=6k$ ($k$ nguyên) thì $n=3(2k)$ nên chia hết cho $3$. Mệnh đề đảo sai: $n=3$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $6$. “Chia hết cho $6$” là điều kiện đủ để chia hết cho $3$; “chia hết cho $3$” là điều kiện cần để chia hết cho $6$, không đủ.
• Bài 8: Phủ định là “Với mọi $x$ thực, $x^2+1\neq 0$”. Vì $x^2\geq 0$ nên $x^2+1\geq 1>0$ với mọi $x$ thực; mệnh đề gốc sai, phủ định đúng. Giữ miền số thực, không xét số phức.

Vận dụng được mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, phủ định và phản ví dụ vào tình huống thực tế của lớp học.

Nhóm 4 HS soạn một quy định thi đua giả định của lớp dưới dạng mệnh đề kéo theo, ví dụ: “Nếu tổ có tất cả thành viên hoàn thành bài tập về nhà thì tổ được cộng một điểm thi đua.” Sau đó nhóm thực hiện: (1) viết mệnh đề đảo; (2) xét tính đúng sai của mệnh đề đảo và nếu sai hãy nêu một phản ví dụ thực tế; (3) viết phủ định của mệnh đề có lượng từ “mọi thành viên”.

Sản phẩm mẫu: “Nếu tổ có tất cả thành viên hoàn thành bài tập về nhà thì tổ được cộng một điểm thi đua.”

• Mệnh đề đảo: “Nếu tổ được cộng một điểm thi đua thì tất cả thành viên hoàn thành bài tập về nhà.”
• Đảo này không luôn đúng: tổ có thể được cộng điểm vì lí do khác (ví dụ tổ đạt điểm trực nhật tốt), do đó có phản ví dụ thực tế.
• Phủ định của “Mọi thành viên trong tổ đều hoàn thành bài tập về nhà”: “Tồn tại thành viên trong tổ không hoàn thành bài tập về nhà”.
• Kiến thức vận dụng: mệnh đề đảo không tự đúng; phủ định đổi lượng từ “mọi” thành “tồn tại”.