Giáo án Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Gợi nhớ cách đo góc bằng độ và radian; giúp HS nhận ra một góc có thể quay nhiều vòng và mô tả bằng số đo $\alpha+2k\pi$.

GV cho HS quan sát hình một bánh xe quay quanh tâm và hỏi: Khi bánh xe quay đúng một vòng, điểm trên vành đã quay một góc bao nhiêu độ và bao nhiêu radian? Nếu bánh xe quay thêm một vòng nữa thì tia cuối có thay đổi không? HS làm việc cá nhân trong 3 phút, sau đó trao đổi cặp đôi 2 phút.

• Một vòng tương ứng $360^\circ$, tức $2\pi$ rad, vì $180^\circ=\pi$ rad.
• Quay thêm một vòng, tia cuối không đổi nhưng số đo tăng thêm $2\pi$; nhận xét này dẫn tới công thức $\alpha+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.
• GV chốt: góc lượng giác phân biệt cả chiều quay và số vòng, chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ.

Nêu được cách đổi giữa độ và radian, xác định được hai góc lượng giác có cùng tia cuối và tính được độ dài cung tròn.

HS hoạt động nhóm 4 người, hoàn thành Phiếu học tập số 1, phần A và phần B. Nhiệm vụ: đổi $150^\circ$ sang radian; đổi $-450^\circ$ sang radian; kiểm tra xem $-450^\circ$ và $3\pi/2$ có cùng tia cuối không; tính độ dài cung khi bánh xe bán kính 0,5 m quay góc 2 rad. Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao hai góc có số đo khác nhau vẫn có thể cùng tia cuối? Công thức $s=R|\alpha|$ được áp dụng khi nào?

• $150^\circ=\dfrac{150\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$ rad.
• $-450^\circ=-\dfrac{5\pi}{2}$ rad; hiệu $\dfrac{3\pi}{2}-\left(-\dfrac{5\pi}{2}\right)=4\pi$ là hai vòng nên hai góc cùng tia cuối nhưng số đo không bằng nhau.
• Với bánh xe $R=0{,}5$ m, $\alpha=2$ rad: $s=R|\alpha|=0{,}5\times 2=1$ m.
• Kết luận HS rút ra: đổi đơn vị dựa trên $180^\circ=\pi$ rad; công thức $s=R|\alpha|$ chỉ dùng khi $\alpha$ tính bằng radian.

Nêu được định nghĩa các giá trị lượng giác qua điểm cuối trên đường tròn đơn vị, xác định dấu theo góc phần tư và dùng quan hệ góc đối, góc bù, góc hơn $\pi$.

HS làm việc theo nhóm, quan sát đường tròn đơn vị do GV chiếu hoặc vẽ trên bảng phụ (hoặc dùng bài tương tác NeoEdu). Nhóm hoàn thành Phiếu học tập số 1, phần C: điền dấu của $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$ trên bốn góc phần tư; so sánh $\sin(-x)$ với $\sin x$; $\cos(\pi-x)$ với $\cos x$; $\sin(7\pi/6)$ bằng bao nhiêu. Câu hỏi GV đặt ra: Điểm cuối có toạ độ $(\cos\alpha,\sin\alpha)$; vậy khi điểm cuối nằm ở góc phần tư III thì $\cos\alpha$ và $\sin\alpha$ mang dấu gì?

• Điểm cuối $M(\cos\alpha,\sin\alpha)$ trên đường tròn đơn vị.
• Bảng dấu: góc phần tư I: sin dương, cos dương, tan dương, cot dương; II: sin dương, cos âm, tan âm, cot âm; III: sin âm, cos âm, tan dương, cot dương; IV: sin âm, cos dương, tan âm, cot âm.
• Góc đối: $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$; góc bù: $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$; góc hơn $\pi$: $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$.
• $\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$ (đáp án C của bài tập 8).
• GV chốt: $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ chỉ khi $\cos\alpha\ne 0$; $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ chỉ khi $\sin\alpha\ne 0$.

Nêu được các hệ thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ và tính được giá trị lượng giác khi biết một giá trị và góc phần tư.

HS làm việc cặp đôi. GV giao hai nhiệm vụ: (1) Từ điểm $M(\cos\alpha,\sin\alpha)$ thuộc đường tròn đơn vị, suy ra hệ thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$; chia hai vế cho $\cos^2\alpha$ khi $\cos\alpha\ne 0$ để tìm $1+\tan^2\alpha$. (2) Biết $\sin x=\dfrac{3}{5}$, $x$ ở góc phần tư II, tính $\cos x$ và $5\cos x$. Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao phải xác định góc phần tư trước khi lấy căn?

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ suy từ phương trình đường tròn đơn vị $x^2+y^2=1$.
• Khi $\cos\alpha\ne 0$: $1+\tan^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$.
• Bài toán (2): $\cos x=-\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{4}{5}$ vì $x$ thuộc góc phần tư II nên cos âm; suy ra $5\cos x=-4$ (đáp án bài tập 4).
• HS rút ra: phải xác định dấu trước khi chọn dấu căn.

Vận dụng được đổi đơn vị, quy tắc góc đối, góc bù và điều kiện xác định để giải bài tập trắc nghiệm và đúng sai.

HS làm việc cá nhân rồi kiểm tra theo cặp các bài: (1) Đổi $150^\circ$ sang radian. (2) $\tan x$ không xác định khi nào? (3) Biết $\sin x=\dfrac{3}{5}$, $x$ thuộc góc phần tư II, tính $5\cos x$. (4) Giá trị $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ là gì? GV dùng bài tập tương tác NeoEdu để HS kiểm tra nhanh đáp án. Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao câu (2) không chọn $x=k\pi$?

Đề và đáp án:

• Bài 1: $150^\circ$ bằng $\dfrac{5\pi}{6}$ rad, chọn B ($150\pi/180=5\pi/6$).
• Bài 2: $\tan x$ không xác định khi $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb Z$, chọn C; vì $\tan x$ có mẫu là $\cos x$, $\cos x=0$ tại $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
• Bài 3: $5\cos x=-4$.
• Bài 4: $\sin\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}$, chọn C.
• Nhận xét: HS giải thích được lựa chọn đúng bằng quy tắc hoặc điều kiện xác định.

Giải thích được từng bước suy luận, kiểm tra tính hợp lí của lời giải và tính được $\sin x$, $\tan x$ khi biết $\cos x$ và khoảng của $x$.

HS làm việc theo nhóm, hoàn thành Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ: (1) Biết $\cos x=-\dfrac{12}{13}$, $\pi<x<\dfrac{3\pi}{2}$; tính $\sin x$, $\tan x$. (2) Một bạn đổi $-450^\circ$ thành $-\dfrac{5\pi}{2}$ rad rồi kết luận cùng tia cuối với $\dfrac{3\pi}{2}$; kiểm tra cả hai bước. (3) Xét các khẳng định: a) $\sin(-x)=-\sin x$; b) $\cos(\pi-x)=\cos x$; c) $\sin(x+2\pi)=\sin x$; d) $\cot 0=0$. Câu hỏi GV đặt ra: Bạn kia lập luận sai ở bước nào? Vì sao khẳng định b) sai?

• Bài (1): góc thuộc góc phần tư III nên $\sin x<0$; $\sin x=-\sqrt{1-\dfrac{144}{169}}=-\dfrac{5}{13}$; $\tan x=\dfrac{-5/13}{-12/13}=\dfrac{5}{12}$, mẫu $\cos x\ne 0$.
• Bài (2): đổi đúng vì $-450\cdot\dfrac{\pi}{180}=-\dfrac{5\pi}{2}$; hiệu $\dfrac{3\pi}{2}-\left(-\dfrac{5\pi}{2}\right)=4\pi$ là hai vòng nên cùng tia cuối; kết luận đúng nhưng số đo không bằng nhau.
• Bài (3): a) Đúng; b) Sai, vì $\cos(\pi-x)=-\cos x$; c) Đúng; d) Sai, vì $\cot 0$ không xác định.
• Chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.

Mô hình hoá được chuyển động quay bằng góc lượng giác và cung tròn, tính được quãng đường thực tế.

Tình huống: Một ghế của đu quay có bán kính quỹ đạo 8 m. Khi đu quay chuyển động, ghế quay được góc $\dfrac{3\pi}{4}$ rad quanh tâm. HS tính quãng đường ghế đi được theo cung tròn và tính xem ghế đã quay bao nhiêu độ. Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao phải đổi số đo góc sang radian trước khi dùng $s=R|\alpha|$? Nếu đu quay quay thêm $2\pi$ rad thì vị trí ghế có đổi không?

• Quãng đường: $s=R|\alpha|=8\cdot\dfrac{3\pi}{4}=6\pi\approx 18{,}85$ m.
• Số đo góc: $\dfrac{3\pi}{4}\cdot\dfrac{180}{\pi}=135^\circ$.
• Quay thêm $2\pi$ rad, vị trí ghế không đổi vì cùng tia cuối; đây là ứng dụng của $\alpha+2k\pi$.
• HS rút ra: $s=R|\alpha|$ chỉ đúng khi $\alpha$ là radian; số vòng quay không làm thay đổi vị trí điểm cuối.